Question

[Dương Anh Tú]

Cho: a, b, c > 0; a + b + c = abc.

Tìm max của: A = \(\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\)+  \(\frac{1}{\sqrt{b^2+1}}\)+  \(\frac{1}{\sqrt{c^2+1}}\)

Answer 1

[vũ tiền châu]

từ giả thiết, ta có \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)

Đặt \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\Rightarrow xy+yz+xz=1\)

Ta có \(\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1+x^2}{x^2}}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+xy+yz+zx}}\) =\(\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)

Áp dụng BĐT cô-si, ta có \(\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\)

Tương tự, rồi cộng lại, ta có 

A\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+x}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)=\frac{3}{2}\)

=> A<=3/2

Dấu = xảy ra <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)

^_^