Question

[Trần Nhật Quỳnh]

Cho A = 7\(^n\)+ 3n - 1 và B = 7\(^{n+1}\)+ 3(n + 1) - 1(với n \(\in\)N)

Chứng minh rằng A \(⋮\)9 \(\Leftrightarrow\)B \(⋮\)9

Answer 1

[GV]

Ta có:

\(B=7^{n+1}+3\left(n+1\right)-1\)

    \(=7.7^n+3n+2\)

     \(=7.7^n+21n-18n-7+9\)

      \(=\left(7.7^n+21n-7\right)-\left(18n-9\right)\)

      \(=7\left(7^n+3n-1\right)-9\left(2n-1\right)\)

       \(=7B-9\left(2n-1\right)\)   (*)

Suy ra nếu B chia hết cho 9 thì \(7B-9\left(2n-1\right)\) cũng chia hết cho 9 (tức A cũng chia hết cho 9).

Ngược lại, nếu A chia hết cho 9 thì từ (*) suy ra \(7B=A+9\left(2n-1\right)\) cũng chia hết cho 9. Vì 7 và 9 là hai số nguyên tố cũng nhau nên B cũng chia hết cho 9.

Answer 2

[Tiểu Ma Bạc Hà]

Xét

-n = 1=> 7^1+3.1-1 = 9 chia hết cho 9
-n = 2 => 7^2+3.2-1 = 54 chia hết cho 9
- Giả sử A chia hết cho 9 đúng với n = k-1  nghĩa là 7^k-1 +3(k -1)-1 chia hết cho 9. Ta chứng minh bài toán đúng với n = k.
- Với n = k:
=> A = 7^k + 3k - 1 = 7[7^k-1 + 3 (k-1) -1] +3
=7[7^(k-1)+3(k-1)-1]-18(k-1) + 9
Vì:
 7^(k-1)+3(k-1)-1 chia hết cho 9
 18(k-1) chia hết cho 9
 9 chia hết cho 9
nên 7^k+3k-1 chia hết cho 9 (đpcm).

Ý B làm tương tự thôi .....còn lại bạn tự làm nhé ^^