Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Với \(a,b,c\ne0\); \(a+b+c\ne0\) , ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)=abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ca\right)+c\left(ab+bc+ca\right)=abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ca\right)+abc+bc^2+c^2a=abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ca\right)+bc^2+c^2a=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ca\right)+c^2\left(a+b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ca+c^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[b\left(a+c\right)+c\left(a+c\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=0\\b+c=0\\c+a=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-b\\b=-c\\c=-a\end{matrix}\right.\)
Không mất tính tổng quát, ta lấy \(a=-b\), ta có:
\(\frac{1}{a^{2005}}+\frac{1}{b^{2005}}+\frac{1}{c^{2005}}=\frac{1}{\left(-b\right)^{2005}}+\frac{1}{b^{2005}}+\frac{1}{c^{2005}}\)
\(=\frac{-1}{b^{2005}}+\frac{1}{b^{2005}}+\frac{1}{c^{2005}}=\frac{1}{c^{2005}}\) (1)
Ta có:\(\frac{1}{a^{2005}+b^{2005}+c^{2005}}=\frac{1}{\left(-b\right)^{2005}+b^{2005}+c^{2005}}\)
\(=\frac{1}{-b^{2005}+b^{2005}+c^{2005}}=\frac{1}{c^{2005}}\) (2)
Từ (1), (2), suy ra \(\frac{1}{a^{2005}}+\frac{1}{b^{2005}}+\frac{1}{c^{2005}}=\frac{1}{a^{2005}+b^{2005}+c^{2005}}\)
Cái chỗ không mất tính tổng quát đấy, là do a, b, c bình đẳng nhau.
\(18x^2y^2\left(?\right)4x^2y\)
câu b)
\(\left(b\right)6x^3-9x^2=3x^2\left(x-3\right)\)
\(\left(c\right)4x^2-1=\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\)
a: \(A=\dfrac{\left(2004+1\right)\left(2004^2-2004+1\right)}{2004^2-2003}=2005\)
b: \(B=\dfrac{\left(2005-1\right)\left(2005^2+2005+1\right)}{2005^2+2006}=2004\)
Ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=0\\b+c=0\\c+a=0\end{cases}}\)
Với \(a+b=0\)
Thì \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a^{2005}}+\frac{1}{b^{2005}}+\frac{1}{c^{2005}}=\frac{1}{c^{2005}}\\\frac{1}{a^{2005}+b^{2005}+c^{2005}}=\frac{1}{c^{2005}}\end{cases}}\)
Tương tự cho 2 trường hợp còn lại ta có ĐPCM
Thau abc = 2005 vào đề bài ta có:
N = abc.a/ab+abc.a+abc + b/bc+b+abc + c/ac+c+1
N = a^2bc/ab(1+ac+c) + b/b(c+1+ac) + c/ac+c+1
N = ac/1+ac+c + 1/(c+1+ac) + c/ac+c+1
N = ac+1+c/ac+1+c = 1
=> đpcm
Câu a:
Vì \(a+b+c=0\Rightarrow a=-b-c\)
\(\Rightarrow a^2-b^2-c^2=(-b-c)^2-b^2-c^2=(b+c)^2-b^2-c^2\)
\(=2bc\)
\(\Rightarrow \frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}=\frac{a^2}{2bc}\). Hoàn toàn tương tự với những phân thức còn lại:
\(\Rightarrow M=\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ac}+\frac{c^2}{2ab}=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\)
Lại có:
\(a^3+b^3+c^3=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3=(-c)^3-3ab(-c)+c^3\)
\(=-c^3+3abc+c^3=3abc\)
\(\Rightarrow M=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\frac{3abc}{2abc}=\frac{3}{2}\)
Vậy giá trị của biểu thức M không phụ thuộc vào biến $a,b,c$
Câu b:
Thay $2005=abc$ ta có:
\(N=\frac{abc.a}{ab+abc.a+abc}+\frac{b}{bc+b+abc}+\frac{c}{ac+c+1}\)
\(=\frac{ab.ac}{ab(1+ac+c)}+\frac{b}{b(c+1+ac)}+\frac{c}{ac+c+1}\)
\(=\frac{ac}{1+ac+c}+\frac{1}{c+1+ac}+\frac{c}{ac+c+1}=\frac{ac+1+c}{1+ac+c}=1\)
Vậy giá trị của biểu thức $N$ không phụ thuộc vào giá trị biến $a,b,c$
(đpcm)
\(A=\frac{2004^3+1}{2004^2-2003}\)
\(A=\frac{2004+1}{1-2003}\)\(=\frac{2005}{-2002}\)
\(B=\frac{2005^3-1}{2005^2+2006}\)\(=\frac{2005-1}{1+2006}=\frac{2004}{2007}\)
\(\Rightarrow A>B\)
\(A=\frac{2004^3+1}{2004^2-2003}\)
\(A=\frac{\left(2004+1\right)\left(2004^2-2004+1\right)}{2004^2-2003}\)
\(A=\frac{2005.\left(2004^2-2003\right)}{2004^2-2003}=2005\)
\(B=\frac{2005^3-1}{2005^2+2006}\)
\(B=\frac{\left(2005-1\right)\left(2005^2+2005+1\right)}{2005^2+2006}=\frac{2004.\left(2005^2+2006\right)}{2005^2+2006}=2004\)
Tham khảo nhé~
\(B=1+2+3+...+n\Rightarrow2B=n\left(n+1\right)\)
\(A=1^{2005}+2^{2005}+3^{2005}+...+n^{2005}\)
\(\Rightarrow2A=\left(1^{2005}+n^{2005}\right)+\left[2^{2005}+\left(n-1\right)^{2005}\right]+...+\)\(\left[\left(n-1\right)^{2005}+2^{2005}\right]+\left(n^{2005}+1^{2005}\right)\)
Các biểu thức trong dấu ngoặc đều chia hết cho n + 1 nên:
\(2A⋮\left(n+1\right)\) (1)
Lại có: \(2A=\left[1^{2005}+\left(n-1\right)^{2005}\right]+\left[2^{2005}+\left(n-2\right)^{2005}\right]+...+\) \(\left[\left(n-1\right)^{2005}+1^{2005}\right]+2n^{2005}\)
Các biểu thức trong dấu ngoặc đều chia hết cho n nên:
\(2A⋮n\) (2)
Vì n và n + 1 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên từ (1)và(2) \(\Rightarrow2A⋮n\left(n+1\right)=2B\)
Vậy \(A⋮B\)