Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a )
Theo bài ra: (a - 4) chia hết cho 5 => (a - 4) + 20 chia hết cho 5 => a + 16 chia hết cho 5
(a - 5) chia hết cho 7 => (a - 5) + 21 chia hết cho 7 => a + 16 chia hết cho 7
(a - 6) chia hết cho 11 => (a - 6) + 22 chia hết cho 11 => a + 16 chia hết cho 11
=> a + 16 thuộc BC(5; 7; 11)
Mà BCNN(5; 7; 11) = 385
=> a + 16 thuộc B(385) = {0; 385; 770; ...}
=> a thuộc {-16; 369; 754;...}
Vì a là số tự nhiên nhỏ nhất
=> a = 369
b ) \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+.......+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}.\)
Ta có :
\(\frac{1}{2^2}=\frac{1}{2.2}< \frac{1}{1.2}\)
\(\frac{1}{3^2}=\frac{1}{3.3}< \frac{1}{2.3}\)
.....................
\(\frac{1}{2012^2}=\frac{1}{2012.2012}< \frac{1}{2011.2012}\)
Ta có :
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+.......+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2011.2012}\)
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+.......+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}\)
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+.......+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}< 1-\frac{1}{2012}\)
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+.......+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}.< \frac{2011}{2012}\)
Mà \(\frac{2011}{2012}< 1\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+.......+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}< 1\)
\(b)\)\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}\)
\(< \)\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+\frac{1}{2010.2011}+\frac{1}{2011.2012}\)
\(< \)\(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}\)
\(< \)\(1-\frac{1}{2012}\)\(=\frac{2011}{2012}< 1\)
Vậy Biểu thức \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}\)\(< 1\)
\(A=5+5^2+5^3+5^4+5^5+5^6+5^7+5^8+5^9\)
\(=\left(5+5^2+5^3\right)+\left(5^4+5^5+5^6\right)+\left(5^7+5^8+5^9\right)\)
\(=5\left(1+5+5^2\right)+5^4\left(1+5+5^2\right)+5^7\left(1+5+5^2\right)\)
\(=5.31+5^4.31+5^7.31=31.\left(5+5^4+5^7\right)\)chia hết cho 31
Vậy A chia 31 dư 0
\(S=1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+...+\frac{1}{1+2+3+...+8}\)
\(=1+\frac{1}{\left(1+2\right).3.\frac{1}{2}}+\frac{1}{\left(1+3\right).3.\frac{1}{2}}+...+\frac{1}{\left(1+8\right).8.\frac{1}{2}}\)
\(=1+\frac{2}{2.3}+\frac{2}{3.4}+...+\frac{2}{8.9}\)
\(=1+2.\left(\frac{3-2}{2+3}+\frac{4-3}{3.4}+...+\frac{9-8}{8.9}\right)\)
\(=1+2.\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}\right)\)
\(=1+2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{9}\right)\)
\(=1+2.\frac{7}{18}=1+\frac{7}{9}=\frac{16}{9}\)
\(A=1+5+5^2+...+5^{464}\)
Ta nhận thấy 52 chia hết cho 52
53=52.5 chia hết cho 5
54=52.5.5 chia hết cho 5
.............
=>\(5^2+5^3+.....+5^{464}\) chia hết cho 5 và băng 5k+1+5=5k+6
=>A chia 52 dư 6
=>\(1+5+5^2+...+5^{464}\)=5k15