Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(\frac{a-\left(c-b\right)}{b-c}+\frac{b-\left(a-c\right)}{c-a}+\frac{c-\left(b-a\right)}{a-b}=3\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+\left(b-c\right)}{b-c}-1+\frac{b+\left(c-a\right)}{c-a}-1+\frac{c+\left(a-b\right)}{a-b}-1=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)
\(\Rightarrow\left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)\left(\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(a-c\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}+\frac{a+b}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{a+c}{\left(b-c\right)\left(a-b\right)}+\frac{b+c}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}+\frac{a^2-b^2+c^2-a^2+b^2-c^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=0\)
Từ gt ta có : \(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)0
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
a/ Bạn cứ khai triển biến đổi tương đương thôi (mà làm biếng lắm)
b/ Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\Rightarrow xyz=1\)
\(VT=\frac{x^3yz}{y+z}+\frac{y^3zx}{z+x}+\frac{xyz^3}{x+y}=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
\(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge\frac{1}{2}.3\sqrt[3]{xyz}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)
cảm ơn bạn nhưng nạ có thể giải nốt cậu a hộ mình đc ko
Ta có: \(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b-c}=-\frac{b}{c-a}-\frac{c}{a-b}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b-c}=\frac{-b\left(a-b\right)-c\left(c-a\right)}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b-c}=\frac{-ab+b^2-c^2+ac}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}=\frac{-ab+b^2-c^2+ac}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)}\)
Tương tự ta có: \(\frac{b}{\left(c-a\right)^2}=\frac{-bc+c^2-a^2+ab}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)}\)
\(\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=\frac{-ca+a^2-b^2+bc}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)}\)
Cộng các đẳng thức trên ta được:
\(\frac{a}{\left(b-c\right)^2}\)\(+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}\)\(+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=\)\(\frac{-ab+b^2-c^2+ac-bc+c^2-a^2+ba-ca+a^2-b^2+bc}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
\(=\frac{0}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=0\)
Vậy \(\frac{a}{\left(b-c\right)^2}\)\(+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}\)\(+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=\)0 (đpcm)
Lời giải:
Từ \(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)
\(\Rightarrow \frac{a}{b-c}=-\left(\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)=-\frac{ba-b^2+c^2-ca}{(c-a)(a-b)}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{(b-c)^2}=-\frac{ba-b^2+c^2-ca}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\frac{b}{(c-a)^2}=-\frac{a^2-ab+bc-c^2}{(a-b)(b-c)(c-a)}\); \(\frac{c}{(a-b)^2}=-\frac{ac-a^2+b^2-bc}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)
Cộng theo vế những điều vừa thu được ta có:
\(\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=-\frac{ba-b^2+c^2-ca+a^2-ab+bc-c^2+ac-a^2+b^2-bc}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0\)
Ta có đpcm.
⇒ab−c=−(bc−a+ca−b)=−ba−b2+c2−ca(c−a)(a−b)⇒ab−c=−(bc−a+ca−b)=−ba−b2+c2−ca(c−a)(a−b)
⇒a(b−c)2=−ba−b2+c2−ca(a−b)(b−c)(c−a)⇒a(b−c)2=−ba−b2+c2−ca(a−b)(b−c)(c−a)
Hoàn toàn tương tự:
b(c−a)2=−a2−ab+bc−c2(a−b)(b−c)(c−a)b(c−a)2=−a2−ab+bc−c2(a−b)(b−c)(c−a); c(a−b)2=−ac−a2+b2−bc(a−b)(b−c)(c−a)c(a−b)2=−ac−a2+b2−bc(a−b)(b−c)(c−a)
Cộng theo vế những điều vừa thu được ta có:
a(b−c)2+b(c−a)2+c(a−b)2=−ba−b2+c2−ca+a2−ab+bc−c2+ac−a2+b2−bc(a−b)(b−c)(c−a)=0
Ta có a>0;b>0\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)(dấu '=' xảy ra khi a=b)\(\Leftrightarrow a^3+b^3-a^2b-ab^2\ge0\Leftrightarrow3a^3+3b^3-3a^2b-3ab^2\ge0\Leftrightarrow4a^3+4b^3\ge a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\Leftrightarrow4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\Leftrightarrow8\left(a^3+b^3\right)\ge2\left(a+b\right)^3\Leftrightarrow\frac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\)(đpcm)