Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Mình cũng chịu bạn ạ vì mình mới học lớp 5 thôi
k mình nha
Chúc bạn học giỏi
Mình cảm ơn bạn nhiều
At the speed of light hữu ích thật.
Giải:
Đặt \(S=x+y+z\). Ta có: \(S^{2^{B.C.S}}=3.x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow4\ge3.x^2+y^2+z^2-3.x+y+z\ge S^2-3S\Rightarrow S+1.S-4\le4\Rightarrow-1\le S\le4\)
Một cửa hàng ngày thứ nhất bán 180 tạ gạo, ngày thứ hai bán 270 tạ gạo , ngày thứ ba bán kém hơn ngày thứ hai một nửa .Hỏi trung bình mỗi ngày cửa hàng bán được bao nhiêu tạ gạo ?
1) Xét hiệu :
\(\left(x_1+x_2+x_3\right)\left(y_1+y_2+y_3\right)-3\left(x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3\right).\)
\(=x_1\left(y_1+y_2+y_3\right)-3x_1y_1+x_2\left(y_1+y_2+y_3\right)-3x_2y_2+x_3\left(y_1+y_2+y_3\right)-3x_3y_3.\)
\(=x_1\left(y_2+y_3-2y_1\right)+x_2\left(y_1+y_3-2y_2\right)+x_3\left(y_1+y_2-2y_3\right)\)
\(=x_1\left[\left(y_2-y_1\right)-\left(y_1-y_3\right)\right]+x_2\left[\left(y_3-y_2\right)-\left(y_2-y_1\right)\right]+x_3\left[\left(y_1-y_3\right)-\left(y_3-y_2\right)\right]\)
\(=\left(y_2-y_1\right)\left(x_1-x_2\right)+\left(y_1-y_3\right)\left(x_3-x_1\right)+\left(y_3-y_2\right)\left(x_2-x_3\right)\le0\)
Vì \(x_1\le x_2\le x_3;y_1\le y_2\le y_3\)
a/ \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\le\frac{2}{1+\sqrt{xy}}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+x\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)+\left(1+y\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)-2\left(1+x\right)\left(1+y\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow x\sqrt{xy}+2\sqrt{xy}+y\sqrt{xy}-x-y-2xy\le0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)-\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\left(\sqrt{xy}-1\right)\le0\) đúng vì \(x,y\le1\)
b/ Vì \(\hept{\begin{cases}0\le x\le y\le z\le t\\yt\le1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}xz\le1\\yt\le1\end{cases}}\)
Áp dụng câu a ta được
\(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}+\frac{1}{1+t}\le\frac{2}{1+\sqrt{xz}}+\frac{2}{1+\sqrt{yt}}\le\frac{4}{1+\sqrt[4]{xyzt}}\)
Từ đề bài ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\ge0\\\left(x-3\right)\left(y-3\right)\left(3-z\right)\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xyz+\left(xy+yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)+1\ge0\\-xyz+3\left(xy+yz+zx\right)-9\left(x+y+z\right)+27\ge0\end{matrix}\right.\)
Lấy trên + dưới ta được
\(4\left(xy+yz+zx\right)-8\left(x+y+z\right)+28\ge0\)
\(\Leftrightarrow4\left(xy+yz+zx\right)+20\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+y+z\right)^2+20\ge2x^2+2y^2+2z^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le11\)
Bài này Karamata là vừa :D
Giả sử \(a\ge b\ge c\)
Khi \(f\left(x\right)=x^2\) là hàm lồi trên \(\left[-1,3\right]\) và \((-1,-1,3)\succ(a,b,c)\)
Theo Karamata's inequality ta có:
\(11=\left(-1\right)^2+\left(-1\right)^2+3^2\ge a^2+b^2+c^2\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Leftrightarrow\frac{1}{x}=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{z}\right)\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\left(\frac{y-2}{y}+\frac{z-2}{z}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có \(\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\left(\frac{y-2}{y}+\frac{z-2}{z}\right)\ge\sqrt{\frac{\left(y-2\right)\left(z-2\right)}{yz}}\)
Tương tự : \(\frac{1}{y}\ge\sqrt{\frac{\left(x-2\right)\left(z-2\right)}{xz}}\) ; \(\frac{1}{z}\ge\sqrt{\frac{\left(x-2\right)\left(y-2\right)}{xy}}\)
Nhân theo vế được : \(\frac{1}{xyz}\ge\frac{\left(x-2\right)\left(y-2\right)\left(z-2\right)}{xyz}\Rightarrow\left(x-2\right)\left(y-2\right)\left(z-2\right)\le1\)
BẠN XEM BÀI NÀY, BÀI TRÊN MÌNH VIẾT THỪA DÒNG CUỐI.
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Leftrightarrow\frac{1}{x}=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{z}\right)\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\left(\frac{y-2}{y}+\frac{z-2}{z}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có \(\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\left(\frac{y-2}{y}+\frac{z-2}{z}\right)\ge\sqrt{\frac{\left(y-2\right)\left(z-2\right)}{yz}}\)
Tương tự : \(\frac{1}{y}\ge\sqrt{\frac{\left(x-2\right)\left(z-2\right)}{xz}}\) ; \(\frac{1}{z}\ge\sqrt{\frac{\left(x-2\right)\left(y-2\right)}{xy}}\)
Nhân theo vế được : \(\frac{1}{xyz}\ge\frac{\left(x-2\right)\left(y-2\right)\left(z-2\right)}{xyz}\Rightarrow\left(x-2\right)\left(y-2\right)\left(z-2\right)\le1\)
\(\frac{1}{xyz}\)
\(\frac{x}{3-yz}+\frac{y}{3-zx}+\frac{z}{3-xy}\le\frac{x}{3-\frac{y^2+z^2}{2}}+\frac{y}{3-\frac{z^2+x^2}{2}}+\frac{z}{3-\frac{x^2+y^2}{2}}\)
\(=\frac{2x}{3+x^2}+\frac{2y}{3+y^2}+\frac{2z}{3+z^2}\le\frac{2x}{4\sqrt[4]{x^2}}+\frac{2y}{4\sqrt[4]{y^2}}+\frac{2z}{4\sqrt[4]{z^2}}\)
\(=\frac{\sqrt{x}}{2}+\frac{\sqrt{y}}{2}+\frac{\sqrt{z}}{2}\le\frac{x^2+3}{8}+\frac{y^2+3}{8}+\frac{z^2+3}{8}\)
\(=\frac{3}{8}+\frac{9}{8}=\frac{3}{2}\)
cách khác: cũng đến chỗ <= sigma 2x/3+x^2
<= 2x/2(x+1) (do x^2+3=x^2+1+2>=2x+2) <= sigma x/x+1 = 3- sigma (1/x+1)
sigma 1/x+1 >= 9/x+y+z+3 dễ rồi