Câu hỏi của Nguyễn Danh Hậu

Question

Cho 3 số x,y,z >0 thỏa x+y+z=6 chứng minh rằng $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge6$

Trần Thanh Phương · Accepted Answer

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :

$VT=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{6^2}{2\cdot6}=3$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=2$

p/s: Đề sai nha bạn. Dạng tổng quát của bài toán :

Cho $a,b,c>0;a+b+c=p$. Chứng minh rằng :

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{p}{2}$Câu trả lời: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :

$VT=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{6^2}{2\cdot6}=3$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=2$

p/s: Đề sai nha bạn. Dạng tổng quát của bài toán :

Cho $a,b,c>0;a+b+c=p$. Chứng minh rằng :

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{p}{2}$