Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dự đoán điểm rơi y=z=k.x
Áp dụng AM-GM:
\(2ky^2+2kz^2\ge4kyz\)
\(y^2+k^2x^2\ge2kxy\)
\(z^2+k^2x^2\ge2kxz\)
Cộng các BĐT trên theo vế:\(2k^2x^2+\left(2k+1\right)y^2+\left(2k+1\right)z^2\ge2k\left(xy+2yz+xz\right)\)
Giờ ta chỉ việc tìm k sao cho \(2k^2=2k+1\),k >0 \(\Rightarrow k=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^2+y^2+z^2}{xy+2yz+xz}\ge\dfrac{2k}{2k^2}=\dfrac{1}{k}=\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1\)
Dấu = xảy ra khi \(y=z=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}x\)
Theo giả thiết ta có : \(x+yz=yz-z-1=\left(z-1\right)\left(y+1\right)=\left(x+y\right)\left(y+1\right)\)
Tương tự : \(y+zx=\left(x+y\right)\left(x+1\right)\)
Và \(z+xy=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)
Nên \(P=\frac{x}{\left(x+y\right)\left(y+1\right)}+\frac{y}{\left(x+y\right)\left(x+1\right)}+\frac{z^2+2}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\)
\(=\frac{x^2+y^2+x+y}{\left(x+y\right)\left(x+1\right)\left(y+1\right)}+\frac{z^2+2}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\)
Ta có \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2};\left(x+1\right)\left(y+1\right)\le\frac{\left(x+y+2\right)^2}{4}\)
nên \(P\ge\frac{2\left(x+y\right)^2+4\left(x+y\right)}{\left(x+y+2\right)^2\left(x+y\right)}+\frac{4\left(z^2+2\right)}{\left(x+y+2\right)^2}=\frac{2\left(x+y\right)+4}{\left(x+y+2\right)^2}+\frac{4\left(z^2+2\right)}{\left(x+y+2\right)^2}\)
\(=\frac{2}{z+1}+\frac{4\left(z^2+2\right)}{\left(z+1\right)^2}=f\left(z\right);z>1\)
Lập bảng biến thiên ta được \(f\left(z\right)\ge\frac{13}{4}\) hay min \(P=\frac{13}{4}\) khi \(\begin{cases}z=3\\x=y=1\end{cases}\)
Sử dụng pp cân bằng hệ số:
\(\frac{\sqrt{5}+1}{4}x^2+\frac{\sqrt{5}-1}{4}y^2\ge xy\)
\(\frac{\sqrt{5}+1}{4}x^2+\frac{\sqrt{5}-1}{4}z^2\ge xz\)
\(y^2+z^2\ge2yz\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{5}+1}{2}x^2+\frac{\sqrt{5}+1}{2}y^2+\frac{\sqrt{5}+1}{2}z^2\ge xy+2yz+zx\)
\(\Rightarrow P=\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+2yz+zx}\ge\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)
\(\sqrt{\frac{xy}{xy+z}}=\sqrt{\frac{xy}{xy+z\left(x+y+z\right)}}=\sqrt{\frac{xy}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z}\right)\)
Tương tự: \(\sqrt{\frac{yz}{yz+x}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{x+z}\right)\) ; \(\sqrt{\frac{zx}{zx+y}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{z}{y+z}\right)\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
\(P=\dfrac{x^3+y^3+z^3}{xy+2yz+zx}=\dfrac{x^3}{xy+2yz+zx}+\dfrac{y^3}{xy+2yz+zx}+\dfrac{z^3}{xy+2yz+zx}\)\(\ge\sqrt[3]{\dfrac{x^3\cdot y^3\cdot z^3}{\left(xy+2yz+zx\right)^3}}=\dfrac{xyz}{xy+2yz+zx}\)
ta có: (x+y+z)^2≥0 <=>xy+yz+zx ≥\(-\dfrac{x^2+y^2+z^2}{2}\) (1)
(y+z)^2 ≥ 0 <=> yz ≥ \(-\dfrac{y^2+z^2}{2}\) (2)
(1), (2) => xy+2yz+zx ≥ \(-\dfrac{x^2}{2}\)
-.-
sai, xóa