Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
mình đánh nhầm, đề là cho a,b,c là các số thực dương tổng bằng 1
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được
\(\frac{a^3}{a+2b}+\frac{b^3}{b+2c}+\frac{c^3}{c+2a}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)
Ta lại có \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)
Do đó ta được \(\frac{a^3}{a+2b}+\frac{b^3}{b+2c}+\frac{c^3}{c+2a}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
p/s: check
tạm thời chưa nghĩ ra cách dùng \(a^3+b^3\ge a^2b+ab^2=ab\left(a+b\right)\) :'<
Có: \(\sqrt[3]{4\left(a^3+b^3\right)}=\sqrt[3]{2\left(a+b\right)\left(2a^2-2ab+2b^2\right)}\)
\(=\sqrt[3]{2\left(a+b\right)\left[\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{2}\left(a-b\right)^2\right]}=\sqrt[3]{2\left(a+b\right)\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2}=a+b\)
Tương tự cộng lại ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
ư ư.. ra r :))))))))) cộng thêm Cauchy-Schwarz nữa nhé
Có: \(a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\)\(\Leftrightarrow\)\(2\left(a^3+b^3\right)\ge a^3+b^3+a^2b+ab^2=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Rightarrow\)\(\sqrt[3]{4\left(a^3+b^3\right)}\ge\sqrt[3]{2\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\sqrt[3]{2\left(a+b\right).\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}=a+b\)
Tương tự cộng lại ra đpcm
\(P=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}-\frac{4-6\sqrt{a}}{1-a}-\frac{-3}{\sqrt{a}+1}\)
ĐK : \(\hept{\begin{cases}a\ge0\\a\ne1\end{cases}}\)
a) \(P=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}+\frac{4-6\sqrt{a}}{a-1}+\frac{3}{\sqrt{a}+1}\)
\(=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}+\frac{4-6\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}+\frac{3}{\sqrt{a}+1}\)
\(=\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}+\frac{4-6\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}+\frac{3\left(\sqrt{a}-1\right)}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}\)
\(=\frac{a+\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}+\frac{4-6\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}+\frac{3\sqrt{a}-3}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}\)
\(=\frac{a+\sqrt{a}+4-6\sqrt{a}+3\sqrt{a}-3}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}\)
\(=\frac{a-2\sqrt{a}+1}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}=\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}=\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}\)
Với \(a=4-2\sqrt{3}\)( tmđk \(\hept{\begin{cases}a\ge0\\a\ne1\end{cases}}\))
\(P=\frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}-1}{\sqrt{4-2\sqrt{3}}+1}\)
\(=\frac{\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}-1}{\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}+1}\)
\(=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2-2\sqrt{3}+1^2}-1}{\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2-2\sqrt{3}+1^2}+1}\)
\(=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}-1}{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}+1}\)
\(=\frac{\left|\sqrt{3}-1\right|-1}{\left|\sqrt{3}-1\right|+1}\)
\(=\frac{\sqrt{3}-1-1}{\sqrt{3}-1+1}=\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}}\)
b) \(P=\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}=\frac{\sqrt{a}+1-2}{\sqrt{a}+1}=1-\frac{2}{\sqrt{a}+1}\)( ĐK \(\hept{\begin{cases}a\ge0\\a\ne1\end{cases}}\))
Để P đạt giá trị nguyên => \(\frac{2}{\sqrt{a}+1}\)nguyên
=> \(2⋮\sqrt{a}+1\)
=> \(\sqrt{a}+1\inƯ\left(2\right)=\left\{\pm1;\pm2\right\}\)
=> \(\sqrt{a}\in\left\{0;1\right\}\)< đã loại hai trường hợp âm >
=> \(a\in\left\{0\right\}\)< loại trường hợp a = 1 >
Vậy với a = 0 thì P có giá trị nguyên
ap dung bdt am gm
\(\sqrt{1+8a^3}=\sqrt{\left(1+2a\right)\left(4a^2-4a+1\right)}\)\(\le\frac{1+2a+4a^2-2a+1}{2}=\frac{4a^2+2}{2}=2a^2+1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{1+8a^3}}\ge\frac{1}{2a^2+1}\)
tuongtu ta cung co \(\frac{1}{\sqrt{1+8b^3}}\ge\frac{1}{2b^2+1};\frac{1}{\sqrt{1+8c^3}}\ge\frac{1}{2c^2+1}\)
\(\Rightarrow\)VT\(\ge\frac{1}{2a^2+1}+\frac{1}{2b^2+1}+\frac{1}{2c^2+1}\)
tiep tuc ap dung bat cauchy-schwarz dang engel ta co
\(VT\ge\frac{1}{2a^2+1}+\frac{1}{2b^2+1}+\frac{1}{2c^2+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}=\frac{3^2}{6+3}=1\)(dpcm)
dau = xay ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Do \(ab+bc+ac=3abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số \(\frac{1}{a};\frac{2}{b};\frac{3}{c}\) , ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=\frac{1}{a}+\frac{4}{2b}+\frac{9}{3c}\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{a+2b+3c}=\frac{36}{a+2b+3c}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+2b+3c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\right)\left(1\right)\)
CMTT , ta có : \(\frac{1}{2a+3b+c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{2}{a}+\frac{3}{b}+\frac{1}{c}\right)\); \(\frac{1}{3a+b+2c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{3}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\right)\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) ; ( 2 )
\(\Rightarrow F\le\frac{1}{36}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}+\frac{2}{a}+\frac{3}{b}+\frac{1}{c}+\frac{3}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\right)\)
\(=\frac{1}{36}.6\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{6}.3=\frac{1}{2}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Bạn Khôi Bùi làm đúng đó