Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$\frac{a^2}{2}+8b^2\geq 2\sqrt{\frac{a^2}{2}.8b^2}=4ab$
$\frac{a^2}{2}+8c^2\geq 2\sqrt{\frac{a^2}{2}.8c^2}=4ac$
$2(b^2+c^2)\geq 2.2\sqrt{b^2c^2}=4bc$
Cộng các BĐT trên theo vế và thu gọn ta được:
$a^2+10(b^2+c^2)\geq 4(ab+bc+ac)=4$
Ta có đpcm.
1/ Giả sử có hữu hạn số nguyên tố là a1,a2,a3,...,an trong đó an là số nguyên tố lớn nhất trong tất cả các số nguyên tố.
Xét số A= a1.a2.a3....an chia hết cho mỗi số nguyên tố ap (với 1<=p<=n)
=> số A+1 chia cho mỗi số ap đều dư 1.(1)
Lại có A+1 > an => A+1 là hợp số =>A+1 chia hết cho 1 trong các số nguyên tố ap,mâu thuẫn với (1).
=> điều giả sử là sai=> có vô số số nguyên tố
2/ ko biết vì học lớp 6
3/
Trong toán học, số vô tỉ là số thực không phải là số hữu tỷ, nghĩa là không thể biểu diễn được dưới dạng tỉ số a/b (a và b là các số nguyên).Tập hợp số vô tỉ kí hiệu là \(\mathbb I\)
Ví dụ:
- Số thập phân vô hạn có chu kỳ thay đổi: 0,1010010001000010000010000001...
- Số = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 7...
- Số pi = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679...
- Số lôgarít tự nhiên e = 2,71828 18284 59045 23536...
vì không có hữu hạn số tự nhiên nên ko có hữu hạn số nguyên tố
\(\dfrac{ab}{a+b}=\dfrac{bc}{b+c}=\dfrac{ca}{c+a}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}=\dfrac{1+1+1}{a+b+c}=\dfrac{3}{a+b+c}=\dfrac{3}{1}=3\)
\(\Rightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{a^3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}=a^3=\left(\dfrac{1}{3}\right)^3=\dfrac{1}{27}\)
Có: \(a+b+c=1\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=1\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=\dfrac{x+y+z}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\) (do \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2=1\))
Ta thấy trong 3 số thực dương a;b;c luôn tồn tại hai số cùng lớn hơn hay nhỏ hơn hoặc bằng 1.Giả sử 2 số đó là b,c
Khi đó \(\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow bc\ge b+c-1\ge0\)\(\Rightarrow2abc\ge2ab+2ac-2a\)
Do đó \(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2ac-2a+1\)
Nên bây giờ ta chứng minh :\(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac-2a+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1