Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Ta có:
$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc$
$=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)$
$=(a+b+c)[(a+b)^2-c(a+b)+c^2]-3ab(a+b+c)$
$=(a+b+c)[(a+b)^2-c(a+b)+c^2-3ab]=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$
$=\frac{1}{2}(a+b+c)(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac)$
$=\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$
$=\frac{1}{2}(a+b+c).6abc=3abc(a+b+c)$
$\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc(a+b+c+1)$ (đpcm)
=> Theo bđt cô si ta có : B≥33√(x2+1y2 )(y2+1z2 )(z2+1x2 )
=> B≥33√2·xy ·2·yz ·2·zx =33√8=6
( Chỗ này là thay x2+1y2 ≥2√x2y2 =2·xy và 2 cái kia tương tự vào )
=> Min B=6
Mình nhầm chỗ câu b, sửa lại là :
B≥33√√(x2+1y2 )(y2+1z2 )(z2+1x2 )
Bạn làm tương tự => B≥3√2.
Chứng minh cái này đi: \(\frac{a^3+a^2+a+1}{a^2+a+1}\ge\frac{2}{3}a+\frac{2}{3}\) ( gợi ý: bđt \(\Leftrightarrow\)\(\left(a-1\right)^2\left(a+1\right)\ge0\))
Tương tự với 2 ẩn kia \(\Rightarrow\)\(\Sigma\frac{a^3+a^2+a+1}{a^2+a+1}\ge\frac{8}{27}\Pi\left(a+1\right)\ge\frac{64}{27}\sqrt{abc}\ge\frac{64}{27}\)
dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
a) Biến đổi vế phải ta có:
\(\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\)
\(=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)-3ab\left(a+b\right)=a^3+b^3=VT\)
Vậy đẳng thức trên đc chứng minh
b) Sai đề sửa lại
\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
Biến đổi vế trái ta có:
\(a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(=\left(a^3+b^3\right)+c^3-3abc\)
\(=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)-3abc+c^3\)
\(=\left[\left(a+b\right)^3+c^3\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)=VP\)
Vậy đẳng thức trên đc chứng minh
Ta có: \(a\left(a-b\right)+b\left(b-c\right)+c\left(c-a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(a\left(a-b\right)-b\left(a-b+c-a\right)+c\left(c-a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(a\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)-b\left(c-a\right)+c\left(c-a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-b\right)^2+\left(c-a\right)\left(c-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a-b=0\\\left(c-a\right)\left(c-b\right)=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
Thế a = b = c vào A ta được:
\(A=3^3-3a^3+3a^2-3a+5\)
\(A=3\left(a^2-a+\frac{5}{3}\right)\)
\(A=3\left[\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{17}{12}\right]\)
\(A=3\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{17}{4}\ge\frac{17}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
Vậy GTNN của A là 17/4 khi a = b = c = 1/2
Ta có: \(a\left(a-b\right)+b\left(b-c\right)+c\left(c-a\right)=0\)
<=> \(a^2+b^2+c^2-ac-bc-ab=0\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ac-2bc-2ab=0\)
<=> \(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)=0\)
<=> \(\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2=0\)
<=> \(\left(a-b\right)^2=0,\left(b-c\right)^2=0,\left(a-c\right)^2=0\)
<=> a=b=c
Thế vào ta có biểu thức:
A=\(3a^3-3a^3+3a^2-3a+5=3\left(a^2-a+\frac{5}{3}\right)=3\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{17}{4}\ge\frac{17}{4}\)
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=17/4
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1/2
Đặt \(\left(\frac{a-b}{c},\frac{b-c}{a},\frac{c-a}{b}\right)\rightarrow\left(x,y,z\right)\)
Khi đó:\(\left(\frac{c}{a-b},\frac{a}{b-c},\frac{b}{c-a}\right)\rightarrow\left(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}\right)\)
Ta có:
\(P\cdot Q=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}\)
Mặt khác:\(\frac{y+z}{x}=\left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\cdot\frac{c}{a-b}=\frac{b^2-bc+ac-a^2}{ab}\cdot\frac{c}{a-b}\)
\(=\frac{c\left(a-b\right)\left(c-a-b\right)}{ab\left(a-b\right)}=\frac{c\left(c-a-b\right)}{ab}=\frac{2c^2}{ab}\left(1\right)\)
Tương tự:\(\frac{x+z}{y}=\frac{2a^2}{bc}\left(2\right)\)
\(=\frac{x+y}{z}=\frac{2b^2}{ac}\left(3\right)\)
Từ ( 1 );( 2 );( 3 ) ta có:
\(P\cdot Q=3+\frac{2c^2}{ab}+\frac{2a^2}{bc}+\frac{2b^2}{ac}=3+\frac{2}{abc}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
Ta có:\(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3=-c^3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=-c^3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
Khi đó:\(P\cdot Q=3+\frac{2}{abc}\cdot3abc=9\)
Lời giải:
Ta có:
\((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=6abc\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ac)=3abc\)
\(\Leftrightarrow (a+b+c)^2-3(ab+bc+ac)=3abc\)
Đặt \((a+b+c,ab+bc+ac,abc)=(p,q,r)\)
\(\Rightarrow p^2-3q=3r\)
Khi đó, \(a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ac)+3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=p^3-3pq+3r=p(p^2-3q)+3r=3pr+3r\)
Vậy \(a^3+b^3+c^3=3abc(a+b+c+1)\)
Chắc bạn viết thiếu.