Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:\(\left(ab+bc+ca\right)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\) (*)
Lại có: \(\left(ab-bc\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2b^2-2ab^2c+b^2c^2\ge0\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2\ge2ab^2c\)
Tương tự \(b^2c^2+c^2a^2\ge2abc^2;c^2a^2+a^2b^2\ge2a^2bc\)
Cộng từng vế của 3 BĐT ta được:\(2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\ge2abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\) (**)
Từ (*),(**) \(\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\ge abc\left(a+b+c\right)+2abc\left(a+b+c\right)=3abc\left(a+b+c\right)\)
=>đpcm
\(a^2\left(b+c\right)=b^2\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow a^2b+a^2c-b^2c-b^2a=0\)
\(\Rightarrow ab.\left(a-b\right)+c.\left(a-b\right).\left(a+b\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(ab+ac+bc\right)\left(a-b\right)=0\)
Vậy : \(\left(ab+bc+ca\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(ab+bc+ca\right).\left(b-c\right)=0\)
\(\Rightarrow b^2a+b^2c-c^2b-c^2a=0\)
\(\Rightarrow b^2\left(c+a\right)=c^2\left(a+b\right)\)
a. \(2\left(a^2+b^2\right)=\left(a-b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2=a^2+b^2-2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2=-2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a+b=0\Leftrightarrow a=-b\) (đpcm)
b. \(a^2+b^2+c^2+3=2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3-2a-2b-2c=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\)
Vì \(\left(a-1\right)^2;\left(b-1\right)^2;\left(c-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)^2=\left(b-1\right)^2=\left(c-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a-1=b-1=c-1=0\Leftrightarrow a=b=c=1\)
c. \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Tương tự câu b ta có a = b = c
Bài 1 bạn viết rõ yêu cầu của đề ra nhé , mình làm bài 2.
\(a.\left(a-b\right)^2=2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2-a^2+2ab-b^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a+b=0\)
\(\Leftrightarrow a=-b\left(đpcm\right)\)
\(b.a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ac\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+a^2-2ac+c^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\c=a\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow a=b=c\left(đpcm\right)\)
\(c.\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=3ab+3bc+3ac-2ab-2bc-2ac\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\)
\(\Leftrightarrow a=b=c\) ( Kết quả câu b)
Bạn chứng minh đẳng thức sau nhé: \(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\) \(=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]\)
Bạn nhìn thử xem cái ta đi chứng minh có giống với giả thiết của đề bài ko. Giả sử đặt ab=x, bc=y, ac=z.
Khi đó \(x^3+y^3+z^3=3xyz\Rightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
Do đó xảy ra 2 trường hợp: x+y+z=0 hoặc \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
Vì a,b,c là các số thực dương nên \(x+y+z\ne0\)do đó \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
Suy ra: x=y=z hay ab=bc=ac hay a=b=c.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Có gì thắc mắc liên hệ với mình nha.
\(a,\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)\(=\left(a^3+b^3\right)+\left(a^3-b^3\right)=2a^3\Rightarrowđpcm\)
\(b,\left(a+b\right)\left[\left(a-b\right)^2+ab\right]=\left(a+b\right)\left(a^2-2ab+b^2+ab\right)=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)\(=\left(a^3+b^3\right)\Rightarrowđpcm\)
\(c,\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2=\left(a^2c^2+2abcd+b^2d^2\right)+\left(a^2d^2-2abcd+b^2c^2\right)\)\(=\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\Rightarrowđpcm\)
a) (a+b)(a2-ab+b2)+(a-b)(a2+ab+b2)
= a3+b3+a3-b3 = 2a3
b) a3+b3
= (a+b)(a2-ab+b2)
= (a+b)(a2- 2ab+b2)+ab
= (a+b)(a2-b2)+ab
#)Giải :
a) Để C/m a và b là hai số đối nhau => a + b = 0
Ta có : \(2\left(a^2+b^2\right)=\left(a-b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2=a^2-2ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2-a^2-2ab+b^2=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=0a\Leftrightarrow a+b=0\)
\(\Rightarrowđpcm\)
\(BDT\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)^2\ge3a^2bc+3ab^2c+3abc^2\)
Đặt \(x=ab;y=bc;z=ac\) thì có:
\(\left(x+y+z\right)^2\ge3xy+3yz+3xz\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
\(\left(ab+ac+bc\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+2abc\left(a+b+c\right)-3abc\left(a+b+c\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2-a^2bc-ab^2c-abc^2\ge0\)Nhân cả 2 vế cho 2 ta được
\(\Rightarrow2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-2a^2bc-2ab^2c-2abc^2\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(a^2b^2-2a^2bc+a^2c^2\right)+\left(a^2b^2-2ab^2c+b^2c^2\right)+\left(a^2c^2-2abc^2+b^2c^2\right)\ge0\)\(\Rightarrow\left(ab-ac\right)^2+\left(ab-bc\right)^2+\left(ac-bc\right)^2\ge0\) Đúng với mọi a , b , c