Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) \({d_1}\)và \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;1} \right)\)
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 1.1 + ( - 1).1 = 0\) nên \(\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \)
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 2 = 0\\x + y + 4 = 0\end{array} \right.\) ta được nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = - 1\end{array} \right.\)
Suy ra hai đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) vuông góc và cắt nhau tại \(M\left( { - 3; - 1} \right)\)
b) \({d_1}\)và \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {5; - 2} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {5; - 2} \right)\)
\(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \) trùng nhau nên hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra \({d_1}\)và \({d_2}\)song song hoặc trùng nhau
Lấy điểm \(A(1;3)\) thuộc \({d_1}\), thay tọa độ của A vào phương trình \({d_2}\), ta được \(5.1 - 2.3 + 9 = 8 \ne 0\), suy ra A không thuộc đường thẳng \({d_2}\)
Vậy hai đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) song song
c) \({d_1}\)và \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3;1} \right)\)
Suy ra hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra \({d_1}\)và \({d_2}\)song song hoặc trùng nhau
Lấy điểm \(A(2;5)\) thuộc \({d_1}\), thay tọa độ của A vào phương trình \({d_2}\), ta được \(3.2 + 5 - 11 = 0\), suy ra A thuộc đường thẳng \({d_2}\)
Vậy hai đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) trùng nhau
Lời giải:
$M\in d_1$ nên gọi tọa độ của $M$ là $(2a+3,a)$
Khoảng cách từ $M$ đến $(d_2)$ là:\(\frac{|2a+3+a+1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow |3a+4|=1\Leftrightarrow 3a+4=\pm 1\)
\(\Leftrightarrow a=-1; a=\frac{-5}{3}\)
Thay vào ta có tọa độ của điểm $M$
Lấy \(M\in d_1\Rightarrow M\left(2y+3;y\right)\)
Ta có: \(d\left(M;d_2\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow\dfrac{\left|2y+3+y+1\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left|3y+4\right|}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow\left|3y+4\right|=1\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3y+4=1\\3y+4=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\\y=-\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\)
\(y=1\Rightarrow M\left(5;1\right)\)
\(y=-\dfrac{5}{3}\Rightarrow M\left(-\dfrac{1}{3};-\dfrac{5}{3}\right)\)
a) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y - 5 = 0\\x - 4y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{9}{7}\\y = \frac{4}{7}\end{array} \right.\)
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất nên 2 đường thẳng cắt nhau.
b) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_3},{d_4}\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3 = 0\\ - 2x + 4y + 10 = 0\end{array} \right.\) .
Hệ phương trình vô nghiệm.nên 2 đường thẳng song song với nhau
c) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_5},{d_6}\) tương ứng với t thỏa mãn phương trình:
\(4\left( { - \frac{1}{2} + t} \right) + 2\left( {\frac{5}{2} - 2t} \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow 0t = 0\) .
Phương trình này có nghiệm với mọi t. Do đó \({d_5} \equiv {d_6}\).
a) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3; - 1} \right)\)
Ta có \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {1.3 + \left( { - 2} \right).( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) = 45^\circ \)
b) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {5; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;5} \right)\)
Ta có \({a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = 5.1 + ( - 1).5 = 0\)
Suy ra \(\left( {{d_1},{d_2}} \right) = 90^\circ \)
c) Ta có vectơ chỉ phương của hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; 4} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;2} \right)\)
\(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {2.1+4.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{ { 4} }^2}} \sqrt {{1^2} + {{{ 2}}^2}} }} = 1 \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) = 0^\circ \)
a) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 2 = 0\\x + y + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = - 1\end{array} \right.\)
\(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {1.1 + ( - 1).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 0 \Rightarrow {d_1} \bot {d_2}\)
Vậy hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc với nhau tại điểm có tọa độ \(( - 3; - 1)\)
b) Đường thẳng \({d_1}\) có phương trình tổng quát là: \({d_1}:2x - y + 1 = 0\)
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 1 = 0\\x - 3y + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{5}\\y = \frac{3}{5}\end{array} \right.\)
\(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) + 1.( - 3)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) = 45^\circ \)
Vậy hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau tại điểm có tọa độ \(\left( { - \frac{1}{5};\frac{3}{5}} \right)\) và góc giữa chúng là \(45^\circ \)
c) Đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt có phương trình tổng quát là:
\({d_1}:3x + y - 11 = 0,{d_2}:x - 3y + 8 = 0\)
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}3x + y - 11 = 0\\x - 3y + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{2}\\y = \frac{7}{2}\end{array} \right.\)
\(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {3.1 + 1.( - 3)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = 0 \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) = 90^\circ \)
Vậy hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc tại điểm có tọa độ \(\left( {\frac{5}{2};\frac{7}{2}} \right)\)
a) \({d_1}\) song song với đường thẳng \({d_2}:x + 3y + 2 = 0\) nên nhận vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_2}\) làm vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;3} \right)\)
\({d_1}\) đi qua điểm \(A(2;3)\) nên ta có phương trình tổng quát
\(\left( {x - 2} \right) + 3.\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 11 = 0\)
b) \({d_1}\) vuông góc với đường thẳng \({d_3}:3x - y + 1 = 0\) nên nhận vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_3}\) làm vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {3; - 1} \right)\)
\({d_1}\) đi qua điểm \(B(4; - 1)\) nên ta có phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 3t\\y = - 1 - t\end{array} \right.\)