Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\text{a) }\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\right|=\left|3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right|\\ \Rightarrow\left(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\right)^2=\left(3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right)^2\\ \Rightarrow\left(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\right)^2-\left(3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right)^2=0\\ \Rightarrow\left(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right)\left(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right)=0\\ \Rightarrow\left(2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MC}\right)\left[2\left(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}\right)+6\overrightarrow{MB}\right]=0\\ \Rightarrow\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right)\left(\overrightarrow{CA}+3\overrightarrow{MB}\right)=0\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=0\\\overrightarrow{CA}+3\overrightarrow{MB}=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MC}\\\overrightarrow{CA}=-3\overrightarrow{MB}\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}M;A;C\text{ thẳng hàng };M\text{ nằm giữa }A;C\\MA=MC\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}CA//MB\\CA=3MB\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M\text{ là trung điểm }AC\\CA//MB;CA=3MB\end{matrix}\right.\)
Vậy......
\(b\text{) }\left|4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|\\ \Rightarrow\left(4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)^2=\left(2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right)^2\\ \Rightarrow\left(4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)^2-\left(2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right)^2=0\\ \Rightarrow\left(4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)\left(4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right)=0\\ \Rightarrow\left(2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right)\cdot6\overrightarrow{MA}=0\\ \Rightarrow\overrightarrow{MA}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)=0\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=0\\\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M\equiv A\\M\text{ là trọng tâm }\Delta ABC\end{matrix}\right.\)Vậy...........
Dựng hình bình hành ABDC \(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{DC}\) ; \(\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{DB}\)
a/
\(\left|\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}\right|\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}\right|\)
\(\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{MD}\right|=\left|\overrightarrow{MA}\right|\)
\(\Rightarrow\) Tập hợp M là trung trực của đoạn thẳng AD
b/ \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{AC}\right|\)
\(\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AC}\right|\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MD}\right|\)
Tập hợp M là trung trực đoạn CD
c/Dựng hình bình hành AEBC \(\Rightarrow\overrightarrow{EB}=-\overrightarrow{CA}\)
\(\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{CA}\right|=\left|\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{BM}\right|\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{CA}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|\)
\(\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{ME}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|\)
Tập hợp M là đường tròn tâm E bán kính BC
\(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right|\\ \Rightarrow\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)^2-\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right)^2=0\\ \Rightarrow\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right)\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}\right)=0\\ \Rightarrow\left(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)\left(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right)=0\)
Gọi I là trung điểm BC
\(\Rightarrow\left(2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MI}\right)\cdot\overrightarrow{CB}=0\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\overrightarrow{CB}=0\\2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MI}=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}C\equiv B\\\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MI}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}C\equiv B\\M\text{ là trung điểm }AI\end{matrix}\right.\)
Vậy với \(C\equiv B\) thì M tùy ý
Với \(C\ne B\) thì M là trung điểm đường trung tuyến ứng với BC của \(\Delta ABC\)