Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Em tham khảo tại link dưới đây nhé.
Câu hỏi của Phạm Thị Thu Trang - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
.png)
a) Do AMC và BMD là các tam giác đều nên \(\widehat{AMC}=\widehat{BMD}=60^o\)
\(\Rightarrow\widehat{AMD}=\widehat{CMB}\)
Xét tam giác AMD và tam giác CMB có:
AM = CM
MD = MB
\(\widehat{AMD}=\widehat{CMB}\)
\(\Rightarrow\Delta AMD=\Delta CMB\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow AD=BC\)
b) Do \(\Delta AMD=\Delta CMB\Rightarrow\widehat{EAM}=\widehat{FCM}\)
Xét tam giác AEM và tam giác CFM có:
\(\widehat{EAM}=\widehat{FCM}\)
AE = CF (Cùng bằng một nửa AD)
AM = CM
\(\Rightarrow\Delta AEM=\Delta CFM\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow ME=MF\)
Ta cũng có ngay \(\Delta EDM=\Delta FBM\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{EMD}=\widehat{FMB}\)
\(\Rightarrow\widehat{EMF}=\widehat{EMD}+\widehat{DMF}=\widehat{FMB}+\widehat{DMF}=\widehat{DMB}=60^o\)
Xét tam giác MEF có ME = MF nên nó là tam giác cân. Lại có \(\widehat{EMF}=60^o\) nên tam giác MEF là tam giác đều.
a) Dễ thấy: ^CMD = 1800 - (^AMC + ^BMD) = 600
Ta có: ^CMB = ^CMD + ^BMD = 1200; ^AMD = ^CMD + ^AMC = 1200
=> ^CMB = ^AMD.
Xét \(\Delta\)MCB và \(\Delta\)MAD có: MC=MA; ^CMB = ^AMD; MB=MD => \(\Delta\)MCB = \(\Delta\)MAD (c.g.c)
=> BC = AD (2 cạnh tương ứng) (đpcm).
b) BC=AD (cmt) => 1/2.BC=1/2.AD => CF=AE
\(\Delta\)MCB = \(\Delta\)MAD (cmt) => ^MCB = ^MAD hay ^MCF = ^MAE
Xét \(\Delta\)MFC và \(\Delta\)MEA có: CF=AE; ^MCF= ^MAE; MC=MA => \(\Delta\)MFC = \(\Delta\)MEA (c.g.c)
=> MF = ME (2 cạnh tương ứng) (1)
Đồng thời ^CMF = ^AME (2 góc tương ứng). Mà ^AME + ^CME = 600
=> ^CMF + ^CME = 600 => ^EMF = 600 (2)
Tù (1) và (2) => \(\Delta\)MEF đều (đpcm).
| GT | M nằm giữa A, B. △AMD đều; △MBC đều AD ∩ BC = { E } |
KL | a, △ABE đều b, △AMC = △DMB |
Bài giải:
1, Vì △AMD đều => AMD = DAM = MDA = 60o và AM = MD = AD
Vì △MBC đều => MBC = BMC = BCM = 60o và MC = MB = BC
Xét △ABE có: ABE + AEB + EAB = 180o (tổng 3 góc trong tam giác)
=> 60o + 60o + AEB = 180o
=> AEB = 60o
Xét △ABE có: ABE = AEB = EAB = 60o => △ABE đều
2, Ta có: DMB = DMC + CMB
CMA = DMC + DMA
Mà CMB = DMA = 60o
=> DMB = CMA
Xét △AMC và △DMB
Có: AM = DM (cmt)
CMA = DMB (cmt)
MC = MB (cmt)
=> △AMC = △DMB (c.g.c)
Trên đoạn AC lấy H sao cho H là trung điểm của đoạn.
Lại có: E là trung điểm của AD nên EH là đường trung bình của tam giác ACD
Do đó CD = 2EH (1)
Gọi I là trung điểm của AM, K là trung điểm của AB
Ta có: EK là đường trung bình của tam giác ADB nên EK //DB
Suy ra góc EKI = 600. Hoàn toàn tương tự: góc FKB = 600
Do đó góc EKF = 600
Tương tự ta có góc HIE = 600
Xét hai tam giác HIE và FKE có:
HI = FK (cùng bằng 1 nửa AC)
góc HIE = góc EKE (=600)
EI = EK (cùng bằng 1 nửa DM)
Suy ra tam giác HIE = tam giác FKE (c.g.c)
Suy ra EF = EH (2)
Từ (1) và (2) suy ra EF = 1/2CD (đpcm)
Cách 1: *cách của Assassin_07*
Cách 2: Ta tạo ra đoạn thẳng bằng nửa CD, đó là PQ (P là trung điểm MC, Q là trung điểm MD). Để chứng minh EF=PQ, ta lấy K là trung điểm AB rồi chứng minh ∆EKF=∆QMP (c.g.c)
Do ∆ACM và ∆MDB đều => AC = AM = AC và MD = BD = MB. Nối M -> E; E -> F; F -> M
Xét ∆AMD và ∆CMB có:
+ AM = CM
+ góc AMD = góc CMB = 120º (kề bù với 2 góc 60º)
+ MD = MB
=> ∆AMD = ∆CMB(c.g.c) => AD = BC => AD/2 = BC/2 => AE = CF và góc DAM = góc BCM
Xét ∆AEM và ∆CFM có:
+ AE = CF
+ góc EAM = góc FCM
+ AM = CM
=> ∆AEM = ∆CFM(c.g.c) => EM = MF và góc AME = góc FMC
=> góc AME + góc EMC = góc FMC + góc EMC
=> góc MEF = góc AMC = 60º
Xét ∆EFM có EM = MF và góc MEF = 60º => ∆EFM là tam giác cân có 1 góc = 60º
=> ∆EFM là tam giác đều.
B2) Lấy D ∈ AE sao cho AD = AC => DE = AB và ∆DAC đều
Xét ∆ABC và ∆DEC có:
+ AB = DE
+ góc BAC = góc EDC = 120º (bạn tự chứng minh)
+ AD = DC
=> ∆ABC = ∆DEC(c.g.c) => BC = EC và góc ACB = góc DCE
=> góc ACB + góc BCD = góc DCE + góc BCD
=> góc ECB = góc ACD = 60º
Xét ∆BEC có BC = EC và góc ECB = 60º => ∆BEC là tam giác cân có 1 góc = 60º
=> ∆BEC là tam giác đều.
B3) Do ∆ABC vuông cân tại A, có trung tuyên AM => AM cũng là phân giác, trung tuyến, đường cao,...
=> BM = CM ;góc BAM = góc CAM = 45º => AM = MC(∆AMC vuông cân tại M)
Xét ∆HAB và ∆KCA có:
+ góc BHA = góc CKA = 90º
+ AB = AC
+ góc BAH = góc ACK (= 90º - góc CAK - bạn tự chứng minh)
=> ∆HAB = ∆KCA(g.c.g) => AH = CK
Ta có: góc HAB = góc ACK => góc HAB + góc BAM = góc ACK + góc MCA (do góc MAB = góc MCA = 45º) => góc MAH = góc MCK
Xét ∆HAM và ∆KCM có
+ AH = CK
+ góc MAH = góc MCK
+ AM = MC
=> ∆HAM = ∆KCM (c.g.c) => HM = MK(1) và góc HMA = góc CMK
=> góc HMA + góc AMK = góc CMK + góc AMK
=> góc HMK = góc AMC = 90º (2)
từ (1) và (2) => ∆HMK vuông cân tại M
Do ∆ACM và ∆MDB đều => AC = AM = AC và MD = BD = MB. Nối M -> E; E -> F; F -> M
Xét ∆AMD và ∆CMB có:
+ AM = CM
+ góc AMD = góc CMB = 120º (kề bù với 2 góc 60º)
+ MD = MB
=> ∆AMD = ∆CMB(c.g.c) => AD = BC => AD/2 = BC/2 => AE = CF và góc DAM = góc BCM
Xét ∆AEM và ∆CFM có:
+ AE = CF
+ góc EAM = góc FCM
+ AM = CM
=> ∆AEM = ∆CFM(c.g.c) => EM = MF và góc AME = góc FMC
=> góc AME + góc EMC = góc FMC + góc EMC
=> góc MEF = góc AMC = 60º
Xét ∆EFM có EM = MF và góc MEF = 60º => ∆EFM là tam giác cân có 1 góc = 60º
=> ∆EFM là tam giác đều.
B2) Lấy D ∈ AE sao cho AD = AC => DE = AB và ∆DAC đều
Xét ∆ABC và ∆DEC có:
+ AB = DE
+ góc BAC = góc EDC = 120º (bạn tự chứng minh)
+ AD = DC
=> ∆ABC = ∆DEC(c.g.c) => BC = EC và góc ACB = góc DCE
=> góc ACB + góc BCD = góc DCE + góc BCD
=> góc ECB = góc ACD = 60º
Xét ∆BEC có BC = EC và góc ECB = 60º => ∆BEC là tam giác cân có 1 góc = 60º
=> ∆BEC là tam giác đều.
B3) Do ∆ABC vuông cân tại A, có trung tuyên AM => AM cũng là phân giác, trung tuyến, đường cao,...
=> BM = CM ;góc BAM = góc CAM = 45º => AM = MC(∆AMC vuông cân tại M)
Xét ∆HAB và ∆KCA có:
+ góc BHA = góc CKA = 90º
+ AB = AC
+ góc BAH = góc ACK (= 90º - góc CAK - bạn tự chứng minh)
=> ∆HAB = ∆KCA(g.c.g) => AH = CK
Ta có: góc HAB = góc ACK => góc HAB + góc BAM = góc ACK + góc MCA (do góc MAB = góc MCA = 45º) => góc MAH = góc MCK
Xét ∆HAM và ∆KCM có
+ AH = CK
+ góc MAH = góc MCK
+ AM = MC
=> ∆HAM = ∆KCM (c.g.c) => HM = MK(1) và góc HMA = góc CMK
=> góc HMA + góc AMK = góc CMK + góc AMK
=> góc HMK = góc AMC = 90º (2)
từ (1) và (2) => ∆HMK vuông cân tại M