Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
bài 5 nhé:
a) (a+1)2>=4a
<=>a2+2a+1>=4a
<=>a2-2a+1.>=0
<=>(a-1)2>=0 (luôn đúng)
vậy......
b) áp dụng bất dẳng thức cô si cho 2 số dương 1 và a ta có:
a+1>=\(2\sqrt{a}\)
tương tự ta có:
b+1>=\(2\sqrt{b}\)
c+1>=\(2\sqrt{c}\)
nhân vế với vế ta có:
(a+1)(b+1)(c+1)>=\(2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}\)
<=>(a+1)(b+1)(c+1)>=\(8\sqrt{abc}\)
<=>(a+)(b+1)(c+1)>=8 (vì abc=1)
vậy....
Lời giải:
Tìm min:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$a^3+a^3+1\geq 3a^2$
$b^3+b^3+1\geq 3b^2$
$c^3+c^3+1\geq 3c^2$
$\Rightarrow 2(a^3+b^3+c^3)+3\geq 3(a^2+b^2+c^2)$
$\Leftrightarrow 2P+3\geq 9$
$\Leftrightarrow P\geq 3$
Vậy $P_{\min}=3$ khi $(a,b,c)=(1,1,1)$
----------------
Tìm max:
$a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow a^2,b^2,c^2\leq 3$
$\Rightarrow a,b,c\leq \sqrt{3}$
Do đó: $a^3-\sqrt{3}a^2=a^2(a-\sqrt{3})\leq 0$
$\Rightarrow a^3\leq \sqrt{3}a^2$
Tương tự với $b,c$ và cộng theo vế:
$P\leq \sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)=3\sqrt{3}$
Vậy $P_{\max}=3\sqrt{3}$ khi $(a,b,c)=(\sqrt{3},0,0)$ và hoán vị.
với mọi a > 0.
(*)
Ta có: \(2.2.\sqrt{x^2+3}\le x^2+3+4=x^2+7\Leftrightarrow\sqrt{x^2+3}\le\frac{x^2+7}{4}\) (đẳng thức xảy ra khi x = 1.)
Áp dụng BĐT trên ta có:
\(P\ge4\left(\frac{a^3}{b^2+7}+\frac{b^3}{c^2+7}+\frac{c^3}{a^2+7}\right)=4.\left(\frac{a^4}{ab^2+7a}+\frac{b^4}{bc^2+7b}+\frac{c^4}{ca^2+7c}\right)\ge4.\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab^2+bc^2+ca^2+7\left(a+b+c\right)}\)
( Theo BĐT Schwarz)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki với 3 số ta có:
\(\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)^2=\left(b.ab+c.bc+a.ca\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}{3}=\frac{3^3}{3}=9\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le3\)
Ta có: \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)=9\Rightarrow a+b+c\le3\)
Do đó:
\(P\ge4.\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab^2+bc^2+ca^2+7\left(a+b+c\right)}\ge\frac{4.3^2}{3+7.3}=\frac{3}{2}\)
Xảy ra đẳng thức khi a = b = c = 1.
Vậy min \(P=\frac{3}{2}\) khi a = b = c = 1.