Question

[Thanh Tâm]

cho 2 số thực x, y thay đổi thỏa mãn hệ thức \(x^2+y^2=1\). Tính giá trị lớn nhất của bieur thức P=\(\frac{2\left(x^2+6xy\right)}{1+2xy+2y^2}\)

Answer 1

[Thắng Nguyễn]

\(P=\frac{2\left(x^2+6xy\right)}{1+2xy+2y^2}=\frac{2x^2+12xy}{x^2+2xy+3y^2}\left(x^2+y^2=1\right)\)

• Xét \(y=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm1\Rightarrow P=2\)
• Xét \(y\ne0\) chia cả tử và mẫu của P cho \(y^2\) có:

\(P=\frac{2\left(\frac{x}{y}\right)^2+12\frac{x}{y}}{\left(\frac{x}{y}\right)^2+2\frac{x}{y}+3}\). Đặt \(t=\frac{x}{y}\Rightarrow P=\frac{2t^2+12t}{t^2+2t+3}\)

\(\Rightarrow\left(2-P\right)t^2+2\left(6-P\right)t-3P=0\)

Để pt trên có nghiệm thì: 

\(\Delta'=\left(6-P\right)^2+3P\left(2-P\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-2P^2-6P+36\ge0\Leftrightarrow-2\left(x-3\right)\left(x+6\right)\ge0\)

\(\Rightarrow-6\le P\le3\) (khuyến mãi luôn tìm Min, còn đề ko nhắc nên dấu "='' của Min tự tìm :v)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\pm\frac{3}{\sqrt{10}};\pm\frac{1}{\sqrt{10}}\right)\)  (của max nhé, min tự tìm)