K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
18 tháng 9 2015
Ta có \(x,y>1\) và thoả mãn \(A=\frac{x^3+y^3-x^2-y^2}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=\frac{x^2\left(x-1\right)+y^2\left(y-1\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}.\)
Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có \(\frac{x^2}{y-1}+4\left(y-1\right)\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y-1}\cdot4\left(y-1\right)}=4x,\)
và \(\frac{y^2}{x-1}+4\left(x-1\right)\ge2\sqrt{\frac{y^2}{x-1}\cdot4\left(x-1\right)}=4y.\)
Cộng hai bất đẳng thức lại ta được \(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}+4\left(x+y-2\right)\ge4\left(x+y\right)\to A\ge8.\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x=2\left(y-1\right),y=2\left(x-1\right)\to x=y=2.\) Vậy giá trị bé nhất của biểu thức \(A\)là \(8.\)
25 tháng 10 2015
A = \(\frac{2x+3y}{2x+y+2}\)
<=> A(2x + y + 2) = 2x + 3y
<=> 2x.A + y.A + 2.A = 2x + 3y
<=> 2x(1 - A) + (3 - A).y = 2.A
Áp dụng BĐT Bunhia côp xki ta có: [2x.(1 - A) + ( 3 - A).y]2 < (4x2 + y2) .[(1 - A)2 + (3 - A)2]
=> (2.A)2 < 2A2 -8A + 10
<=> - 2A2 - 8A + 10 > 0
<=> A2 + 4A - 5 < 0
<=> (A - 1).(A + 5) < 0 <=> -5 < A < 1
Vậy Min A = -5 . giải hệ -5 = \(\frac{2x+3y}{2x+y+2}\); 4x2 + y2 = 1 => x ; y
Max A = 1 tại....
PL
1
PA
8 tháng 4 2018
\(A=\dfrac{2x^2+2y^2+12xy}{x+y}=\dfrac{\left(2x^2+2y^2+4xy\right)+8xy}{x+y}=\dfrac{2\left(x+y\right)^2+2}{x+y}\)
Đặt x + y = t (t > 0)
\(\Rightarrow A=\dfrac{2t^2+2}{t}=\dfrac{\left(2t^2-4t+2\right)+4t}{t}=\dfrac{2\left(t-1\right)^2}{t}+4\ge4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\xy=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)
IT
1
HN
24 tháng 2 2017
\(M=x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)
\(=x^2-xy+y^2=\left(1-y\right)^2-\left(1-y\right)y+y^2\)
\(=3y^2-3y+1=\left(3y^2-3y+\frac{3}{4}\right)+\frac{1}{4}\)
\(=3\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\)
Vậy GTNN là \(\frac{1}{4}\) dạt được khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 12 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$M\geq 2\sqrt{\frac{1}{xy}}.\sqrt{1+x^2y^2}=2\sqrt{\frac{x^2y^2+1}{xy}}$
$=2\sqrt{xy+\frac{1}{xy}}$
Áp dụng BĐT AM-GM tiếp:
$1\geq x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}$
$xy+\frac{1}{xy}=(xy+\frac{1}{16xy})+\frac{15}{16xy}$
$\geq 2\sqrt{xy.\frac{1}{16xy}}+\frac{15}{16xy}$
$\geq 2\sqrt{\frac{1}{16}}+\frac{15}{16.\frac{1}{4}}=\frac{17}{4}$
$\Rightarrow M\geq 2\sqrt{\frac{17}{4}}=\sqrt{17}$
Vậy $M_{\min}=\sqrt{17}$. Giá trị này đạt tại $x=y=\frac{1}{2}$
T
1
27 tháng 2 2019
\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\) (Vì x+y=1)
Vậy Min của bt trên là 25/2. Đạt được khi x=y=1/2.
5 tháng 6 2017
1,ta có :x2+y2=(x+y)2-2xy\(\supseteq\)1-2xy
\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)=\(\frac{x+y}{xy}\)\(\supseteq\)\(\frac{1}{xy}\)
do đó P\(\supseteq\)1-2xy+\(\frac{1}{xy}\)
ta có xy\(\subseteq\)\(\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)\(\subseteq\)\(\frac{1}{4}\)nên 2xy\(\subseteq\)\(\frac{1}{2}\)nên 1-2xy\(\supseteq\)1-\(\frac{1}{2}\)
do xy\(\subseteq\)\(\frac{1}{4}\)nên\(\frac{1}{xy}\)\(\supseteq\)4nên P\(\supseteq\)1-\(\frac{1}{2}\)+4=9/2=4,5
dấu=xảy ra \(\Leftrightarrow\)x=y=1/2
vầy min P=4,5 tại x=y=1/2
2,chịu
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số thực không âm ta có:
\(\frac{x^2}{y-1}+4\left(y-1\right)\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y-1}\times4\left(y-1\right)}=4x\) (1)
\(\frac{y^2}{x-1}+4\left(x-1\right)\ge2\sqrt{\frac{y^2}{x-1}\times4\left(x-1\right)}=4y\) (2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế , ta được:
\(P+4y-4+4x-4\ge4x+4y\)
\(\Rightarrow P\ge8\)
Dấu "\(=\)" xảy ra khi : \(x=y=2\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P=\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\) là 8 khi \(x=y=2\)
Cần chứng minh \(P=\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge8\) thật vậy:
Đặt \(\left\{\begin{matrix}x-1=a\\y-1=b\end{matrix}\right.\)\(\left(a,b>0\right)\) ta có bđt cần cm tương đương:
\(\Leftrightarrow\left(a^2+2a+1\right)a+\left(b^2+2b+1\right)b\ge8ab\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^3+2a^2+a+b^3+2b^2+b\ge8ab\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(2a^2+2b^2\ge2\sqrt{2a^2\cdot2b^2}=4ab\)
\(a^3+b^3+a+b\ge4\sqrt[4]{a^4b^4}=4ab\)
Cộng theo vế ta có đpcm
Vậy GTNN của BT là 8