ND
4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
26 tháng 4 2020
\(\frac{1}{x^2+2y^2+3}+\frac{1}{y^2+2z^2+3}+\frac{1}{z^2+2x^2+3}\)
= \(\frac{1}{x^2+y^2+y^2+1+2}+\frac{1}{y^2+z^2+z^2+1+2}+\frac{1}{z^2+x^2+x^2+1+2}\)
\(\le\frac{1}{2xy+2y+2}+\frac{1}{2yz+2z+2}+\frac{1}{2zx+2x+2}\)
= \(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}\right)\)
= \(\frac{1}{2}\left(\frac{zx}{xyzx+yzx+zx}+\frac{x}{yzx+zx+x}+\frac{1}{zx+x+1}\right)\)
= \(\frac{1}{2}\left(\frac{zx}{x+1+zx}+\frac{x}{1+zx+x}+\frac{1}{zx+x+1}\right)\)
= 1/2
Dấu "=" xảy ra <=> x = y =z =1
26 tháng 4 2020
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2xy\\y^2+1\ge2y\end{cases}\Rightarrow\frac{1}{x^2+2y^2+3}\le\frac{1}{2xy+2y+2}}\)
Tương tự ta cũng có
\(\frac{1}{y^2+2x^2+3}\le\frac{1}{2yz+2z+2};\frac{1}{z^2+2x^2+3}\le\frac{1}{2xz+2x+2}\)
Do đó ta có:\(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}\right)\)
Mặt khác, do xyz=1 nên ta có:
\(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}=\frac{1}{xy+y+1}+\frac{y}{xy+y+1}+\frac{xy}{xy+y+1}\)
\(=\frac{xy+y+1}{xy+y+1}=1\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{2}\). Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1
22 tháng 12 2017
Áp dụng bđt AM - GM ta có :
\(\frac{1}{x}+x\ge2\sqrt{\frac{1}{x}.x}=2\)
\(\frac{2}{y}+2y=2\left(\frac{1}{y}+y\right)\ge2.2\sqrt{\frac{1}{y}.y}=4\)
Cộng vế với vế ta được : \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+x+2y\ge6\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+3\ge6\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)
10 tháng 5 2019
Ta có:\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}\ge\frac{9}{x+2y}=\frac{9}{3}=3\left(đpcm\right)\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\x+2y=3\end{cases}\Leftrightarrow x=y=1}\)
:))
8 tháng 12 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwaz:
\(\left(\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y}\right)\left[xy^2+y^2\left(x+2y\right)\right]\ge\left(x^2+3y^2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y}\ge\frac{\left(x^2+3y^2\right)^2}{2xy^2+2y^3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y}\ge\frac{\left(x^2+3y^2\right)^2}{2y^2\left(x+y\right)}\) \(\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^2\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\ge x+y\)
Do đó: Áp dụng BĐT AM-GM ngược dấu:
\(2y^2\left(x+y\right)\le2y^2\left(x^2+y^2\right)\le\frac{\left(x^2+y^2+2y^2\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow2y^2\left(x+y\right)\le\frac{\left(x^2+3y^2\right)^2}{4}\) \(\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y}\ge4\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1
Vậy \(\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y}\ge4\)
6 tháng 11 2018
hùi nãy mem nào k sai cho t T_T t buồn
\(VT\ge6\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\right)-2\left(xy+yz+zx\right)+2.\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)
\(=6\left(x+y+z\right)^2-2.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}=6.\left(\frac{3}{4}\right)^2-2.\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2}{3}+\frac{9}{2.\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{27}{8}-\frac{3}{8}+6=9\)
\(\Rightarrow\)\(VT\ge9\) ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=\frac{1}{4}\)
Chúc bạn học tốt ~
2 tháng 1 2021
3: \(P=\dfrac{x}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\dfrac{y}{\left(y+z\right)+\left(y+x\right)}+\dfrac{z}{\left(z+x\right)+\left(z+y\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{y}{y+x}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{z}{z+x}+\dfrac{z}{z+y}\right)=\dfrac{3}{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi x = y = x = \(\dfrac{1}{3}\).
25 tháng 4 2021
\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge x;\frac{y^2}{z+1}+\frac{z+1}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+1}+\frac{x+1}{4}\ge z\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.2=\frac{3}{2}\)
30 tháng 8 2019
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki :
\(\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{2y}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{2}{y}}\right)^2\right]\ge\left(\sqrt{x}\cdot\sqrt{\frac{1}{x}}+\sqrt{2y}\cdot\sqrt{\frac{2}{y}}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\right)\ge\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{y}}{\sqrt{y}}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\right)\ge\left(1+2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)
7 tháng 9 2019
Cách khác:
Với x,y >0.Áp dụng bđt svac -xơ có:
\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{x}+\frac{4}{2y}\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{x+2y}=\frac{9}{3}=3\)
=> \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge3\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1
Ta có \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+y}=\frac{9}{x+2y}=\frac{9}{3}=3\\ \)
dấu '=' xảy ra khi x=y=1
cảm ơn em chưa