Cho 2 số dương a,b và a+b=1. CMR: \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\ge6\)

FF

fan FA

20 tháng 3 2019 - olm

Cho a , b , c là các số thự dương thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\)

CMR \(a^2\sqrt{a}+b^2\sqrt{b}+c^2\sqrt{c}+\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge6\)

#Toán lớp 9

2

CT

Cố Tử Thần

20 tháng 3 2019

sử dụng bdt bunhiacopxki có đc ko bn

Đúng(0)

AN

alibaba nguyễn

21 tháng 3 2019

\(a^2\sqrt{a}+b^2\sqrt{b}+c^2\sqrt{c}+\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\)

\(=\left(a^2\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)+\left(b^2\sqrt{b}+\frac{1}{\sqrt{b}}\right)+\left(c^2\sqrt{c}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\)

\(\ge2a+2b+2c\ge6\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=6\)

Đúng(0)

BN

Bùi Nguyễn Hoài Anh

9 tháng 10 2015 - olm

Cho các cặp số dương a,b thỏa mãn a+b=1 . Chứng minh:

a, \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\ge6\)

b, \(\frac{2}{ab}+\frac{3}{a^2+b^2}\ge14\)

#Toán lớp 9

1

TT

Trần Thị Diễm Quỳnh

9 tháng 10 2015

câu a)

đặt A= vế trái

=>A=1/2ab+1/2ab+1/(a²+b²) (3)

(a+b)²>=4ab (tự cm)

=>1>=4ab

hay 4ab <=1

=>2ab<=1/2

=>1/2ab>=2 (1)

sau đó áp dụng BĐT:1/x+1/y >= 4/(x+y) ta đc :

1/2ab+1/(a²+b²) >= 4/(a+b)²=4/1=4 (2)

từ (1),(2),(3)=>dpcm

Đúng(0)

EC

EDOGAWA CONAN

20 tháng 3 2019

Cho a , b , c là các số thự dương thỏa mãn : \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\)

CMR \(a^2\sqrt{a}+b^2\sqrt{b}+c^2\sqrt{c}+\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge6\)

#Toán lớp 9

1

MS

Mashiro Shiina

20 tháng 3 2019

Áp dụng bđt AM-GM:

\(a^2\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\ge2a\)

\(b^2\sqrt{b}+\frac{1}{\sqrt{b}}\ge2b\)

\(c^2\sqrt{c}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge2c\)

Cộng theo vế: \(VT\ge2\left(a+b+c\right)\ge\frac{2}{3}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=6\) (Cauchy-Schwarz)

\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Đúng(0)

DD

Dung Đặng Phương

15 tháng 10 2017 - olm

1) Cho a, b, c nguyên thỏa mãn: \(a^2+b^2=c^2\left(1+ab\right)\). Chứng minh rằng: \(a\ge c;b\ge c\)2) Cho a, b, c dương và \(a+b+c\ge abc\). Chứng minh rằng: \(a^2+b^2+c^2\ge abc\)3) Cho a, b, c dương và \(a+b+c\ge abc\). Chứng minh rằng ít nhất hai bất đẳng thức trong các bất đẳng thức sau là...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

2

TH

Trần Hữu Ngọc Minh

15 tháng 10 2017

bài 2

(bài này là đề thi olympic Toán,Ireland 1997),nhưng cũng dễ thôi

Giả sử ngược lại \(a^2+b^2+c^2< abc\)

khi đó \(abc>a^2+b^2+c^2>a^2\)nên \(a< bc\)

Tương tự \(b< ac,c< ab\)

Từ đó suy ra :\(a+b+c< ab+bc+ac\left(1\right)\)

mặt khác ta lại có:\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)nên

\(abc>a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)

\(\Rightarrow abc>ab+ac+bc\left(2\right)\)

Từ (1),(2) ta có\(abc>a+b+c\)(trái với giả thuyết)

Vậy bài toán được chứng minh

Đúng(0)

TH

Trần Hữu Ngọc Minh

15 tháng 10 2017

3)để đơn giản ta đặt \(x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}\).Khi đó \(x,y,z>0\)

và \(xy+yz+xz\ge1\)

ta phải chứng minh có ít nhất hai trong ba bất đẳng thức sau đúng

\(2x+3y+6z\ge6,2y+3z+6x\ge6,2z+3x+6y\ge6\)

Giả sử khẳng định này sai,tức là có ít nhất hai trong ba bất đẳng thức trên sai.Không mất tính tổng quát,ta giả sử

\(2x+3y+6z< 6\)và \(2y+3z+6x< 6\)

Cộng hai bất đẳng thức này lại,ta được:\(8x+5y+9z< 12\)

Từ giả thiết \(xy+yz+xz\ge1\Rightarrow x\left(y+z\right)\ge1-yz\)

\(\Rightarrow x\ge\frac{1-yz}{y+z}\)Do đó

\(8\frac{1-yz}{y+z}+5y+9z< 12\Leftrightarrow8\left(1-yz\right)+\left(5y+9z\right)\left(y+z\right)< 12\left(y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow5y^2+6yz+9z^2-12y-12z+8< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(y+3z-2\right)^2+4\left(y-1\right)^2< 0\)(vô lý)

mâu thuẫn này chứng tỏ khẳng định bài toán đúng.Phép chứng minh hoàn tất.

Đúng(0)

KN

Kiệt Nguyễn

20 tháng 4 2020 - olm

Cho các số thực dương a,b thỏa mãn điều kiện ab = 1. Chứng minh rằng:

\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(a-b\right)^2}\ge6\)

P/s: Mong ko có cách giải SOS, Có cách Cô - si, Bunhia ,.. giúp với

#Toán lớp 9

7

KN

Kiệt Nguyễn

1 tháng 5 2020

Em mới vừa nghĩ ra cách khác )):

\(VT=\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}+\frac{4}{a^2-2ab+b^2}=a^2+b^2+\frac{4}{a^2+b^2-2}\)

\(=a^2+b^2-2+\frac{4}{a^2+b^2-2}+2\)

\(\ge2\sqrt{\left(a^2+b^2-2\right).\frac{4}{a^2+b^2-2}}+2=6\)

Đúng(0)

T

tth_new

26 tháng 4 2020

Bài này sai đề nhé! Thử: \(\left(a;b\right)=\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2},\frac{2}{\sqrt{5}-1}\right)\rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(a-b\right)^2}=4< 6\)

Và 4 cũng là min biểu thức trên!

Đúng(0)

MN

Minh Nguyễn Cao

24 tháng 2 2020 - olm

Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3.

CMR: \(\sqrt{3a+\frac{1}{b}}+\sqrt{3b+\frac{1}{c}}+\sqrt{3c+\frac{1}{a}}\ge6\)

#Toán lớp 9

0

LD

l҉o҉n҉g҉ d҉z҉

4 tháng 1 2021 - olm

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c = 3

Chứng minh rằng với mọi k > 0 ta luôn có

\(\left(b+c\right)\sqrt[k]{\frac{bc+1}{a^2+1}}+\left(a+c\right)\sqrt[k]{\frac{ac+1}{b^2+1}}+\left(a+b\right)\sqrt[k]{\frac{ab+1}{c^2+1}}\ge6\)

#Toán lớp 9

4

DN

Đặng Ngọc Quỳnh

5 tháng 1 2021

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c = 3

Chứng minh rằng với mọi k > 0 ta luôn có....

Đúng(0)

DN

Đặng Ngọc Quỳnh

5 tháng 1 2021

.

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c = 3

Chứng minh rằng với mọi k > 0 ta luôn có

Đúng(0)

TV

Thăng Vũ

29 tháng 10 2018 - olm

Cho a,b dương và ab=1.CMR \(\frac{a^3}{1+b^2}+\frac{b^3}{1+a^2}>=1\)

#Toán lớp 9

3

PM

Phùng Minh Quân

29 tháng 10 2018

Đơn giản xúc tích ngắn gọn dễ hiểu :)) Cauchy-Schwarz dạng Engel + Cosi nhé

\(\frac{a^3}{1+b^2}+\frac{b^3}{1+a^2}=\frac{a^2}{b^3+b}+\frac{b^2}{a^3+a}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2+1\right)}=\frac{a+b}{a^2+b^2}\ge\frac{2\sqrt{ab}}{2\sqrt{\left(ab\right)^2}}=1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=\frac{1}{2}\)

Chúc bạn học tốt ~

Đúng(0)

PM

Phùng Minh Quân

29 tháng 10 2018

ấy khúc cuối ngu was -,-

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=1\) ( vì a, b dương )

Chúc bạn học tốt ~

Đúng(0)

TH

tran huu dinh

1 tháng 1 2018 - olm

Cho a,b,c là các số thực dương thõa : a+b+c=3

CMR: \(\frac{3+a^2}{b+c}+\frac{3+b^2}{c+a}+\frac{3+c^2}{a+b}\ge6\)

CÁC BẠN ZẢI NHANH ZÚP

#Toán lớp 9

1

DD

Đinh Đức Hùng

1 tháng 1 2018

Ta có : \(\frac{3+a^2}{b+c}+\frac{3+b^2}{c+a}+\frac{3+c^2}{a+b}=\frac{3}{b+c}+\frac{3}{c+a}+\frac{3}{a+b}+\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\)

Ta cầm chứng minh : \(\hept{\begin{cases}\frac{3}{a+b}+\frac{3}{a+c}+\frac{3}{b+c}\ge\frac{9}{2}\left(1\right)\\\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{3}{2}\left(2\right)\end{cases}}\)

Ta có bđt (1) \(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{b+c}\ge\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(a+c\right)\right]\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\ge9\)

Áp dụng bđt AM GM ta có :

\(\hept{\begin{cases}\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(a+c\right)\ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}\\\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}}\end{cases}}\)

Nhân vế với vế ta được đpcm ; Vậy bđt (1) đc chứng minh

Ta có \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}\)

Vậy bđt (2) đc chứng minh

Do 2 bất đẳng thức dước chứng minh

\(\Rightarrow\frac{3+a^2}{b+c}+\frac{3+b^2}{a+c}+\frac{3+c^2}{a+b}\ge\frac{3}{2}+\frac{9}{2}=6\) (ĐPCM)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP