Question

[Lê Mai]

Cho 2 hàm số y = \(x^2\) và y = mx + 4, với m là tham số. 

1. Khi m = 3, tìm tọa độ giao điểm của 2 hàm số trên

2. C/m rằng với mọi giá trị của m, đồ thị của 2 hàm số đã cho luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt: \(A_1\left(x_1;y_1\right)\) và \(A_2\left(x_2;y_2\right)\). Tìm tất cả các giá trị của m sao cho \(y_1^2+y_2^2\) = \(7^2\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

1.PT hoành độ giao điểm:

$x^2-mx-4=0(*)$ 

Khi $m=3$ thì pt trở thành: $x^2-3x-4=0$

$\Leftrightarrow (x+1)(x-4)=0$

$\Rightarrow x=-1$ hoặc $x=4$

Với $x=-1$ thì $y=(-1)^2=1$. Giao điểm thứ nhất là $(-1;1)$

Với $x=4$ thì $y=4^2=16$. Giao điểm thứ hai là $(4;16)$

2.

$\Delta (*)=m^2+16>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$ nên PT $(*)$ luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$, đồng nghĩa với việc 2 ĐTHS luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt $A(x_1,y_1); B(x_2,y_2)$

Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=m$ và $x_1x_2=-4$

Khi đó:

$y_1^2+y_2^2=49$

$\Leftrightarrow (mx_1+4)^2+(mx_2+4)^2=49$

$\Leftrightarrow m^2(x_1^2+x_2^2)+8m(x_1+x_2)=17$

$\Leftrightarrow m^2[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]+8m(x_1+x_2)=17$

$\Leftrightarrow m^2(m^2+8)+8m^2=17$

$\Leftrightarrow m^4+16m^2-17=0$

$\Leftrightarrow (m^2-1)(m^2+17)=0$

$\Rightarrow m^2=1$

$\Leftrightarrow m=\pm 1$