Question

[Nguyễn Thị Thúy Hạnh]

cho 2 đường thẳng d1:y=x ;d2: y=2x ; A(3;4). tìm B và C lần lượt thuộc d1,d2 sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất.

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Gọi \(A_1\) và \(A_2\) lần lượt là điểm đối xứng A qua \(d_1\) và \(d_2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A_1\left(4;3\right)\\A_2\left(\frac{7}{5};\frac{24}{5}\right)\end{matrix}\right.\)

Với B bất kì thuộc d1 và C bất kì thuộc d2, ta luôn có \(\left\{{}\begin{matrix}AB=A_1B\\AC=A_2C\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow T=AB+BC+AC=A_1B+BC+CA_2\ge A_1A_2\)

\(\Rightarrow T_{min}=A_1A_2\) khi \(A_1;B;C;A_2\) thẳng hàng hay B, C lần lượt là giao điểm của đường thẳng \(A_1A_2\) và d1; d2

\(\overrightarrow{A_1A_2}=\left(-\frac{13}{5};\frac{9}{5}\right)\Rightarrow A_1A_2\) có 1 vtpt là \(\left(9;13\right)\)

Phương trình A1A2:

\(9\left(x-4\right)+13\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow9x+13y-75=0\)

Tọa độ B là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}y=x\\9x+13y-75=0\end{matrix}\right.\)

Tọa độ C là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}y=2x\\9x+13y-75=0\end{matrix}\right.\)