Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho tam giác ABC nhọn, p là nửa chu vi, S là diện tích
CMR: \(\cot A+\cot B+\cot C\ge\frac{p^2}{3S}\)
\(cotA+cotB+cotC\ge\frac{p^2}{3S}\)
<=> \(cotA.S+cotB.S+cotC.S\ge\frac{p^2}{3}\)
MÀ \(S=\frac{1}{2}ab.sinC=\frac{1}{2}bc.SinA=\frac{1}{2}ac.SinB\)
=> \(\frac{1}{2}bc.cosA+\frac{1}{2}ab.cosC+\frac{1}{2}ac.cosC\ge\frac{p^2}{3}\)
Áp dụng công thức hàm cos ta có \(cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc};cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac};cosC=\frac{b^2+a^2-c^2}{2ab}\)
ĐPCM
<=> \(\frac{1}{4}\left(a^2+b^2-c^2\right)+\frac{1}{4}\left(b^2+c^2-a^2\right)+\frac{1}{4}\left(a^2+c^2-b^2\right)\ge\frac{\left(\frac{a+b+c}{2}\right)^2}{3}\)
<=> \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)
<=> \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)luôn đúng
=> ĐPCM
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c => Tam giác ABC đều
Vậy \(cotA+cotB+cotC\ge\frac{p^2}{3S}\)
A B C H K L
Gọi AH,BK,CL là 3 đường cao của \(\Delta\)ABC. Khi đó:
\(\cot B=\frac{BH}{HA},\cot C=\frac{CH}{HA}\) suy ra \(\cot B+\cot C=\frac{BC}{HA}\)
Chứng minh tương tự rồi cộng theo vế ta được:
\(2\left(\cot A+\cot B+\cot C\right)=\frac{BC}{HA}+\frac{CA}{KB}+\frac{AB}{LC}\)
\(=\frac{BC^2}{2S}+\frac{CA^2}{2S}+\frac{AB^2}{2S}\ge\frac{\left(BC+CA+AB\right)^2}{6S}=\frac{2p^2}{3S}\)(BĐT Schwartz)
Do đó \(\cot A+\cot B+\cot C\ge\frac{p^2}{3S}\)(đpcm).
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều.
Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh BC, AC,AB và r bán kính đường nội tiếp tam giác ABC
Vẽ BH _|_ IA, CK _|_ IA (H;K \(\in\)IA) . AI cắt BC tại M
Ta có: r.c=IA.BH(=2SIAB); r.b=IA.CK(=2SIAC)
BH+CK < BM+MC =BC=a
Do đó rc+rb < IA.a => IA > \(\frac{r\left(b+c\right)}{a}\)
Tương tự ta có: IB > \(\frac{r\left(a+c\right)}{a};IC\ge\frac{r\left(a+b\right)}{c}\)
IA+IB+IC > \(r\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge6\cdot r;S=pr\Rightarrow r=\frac{S}{p}\)
Dấu "=" xảy rakhi a=b=c => Tam giác ABC đều
Phân tích: Ta nhận thấy: Nửa chu vi = Chiều dài + Chiều rộng
Dạng toán: Tìm hai số khi biết Tổng và tỉ số của 2 số đó
( Tổng = 64, Tỉ số giữa Chiều rộng và Chiều dài là 3/5, trong đó chiều rộng tương ứng với 3 phần, chiều dài tương ứng với 5 phần)
Giải: Theo bài ra ta có sơ đồ: ( vẽ theo hướng dẫn)
Tổng số phần bằng nhau là:
3 + 5 = 8 (phần)
Giá trị của 1 phần là:
64 : 8 = 8 (m)
Chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là:
8 x 3 = 24 (m)
Chiều dài mảnh đất hình chữ nhật là:
64 – 24 = 40 (m)
Diện tích mảnh đất hình chữ nhật là:
60 x 24 = 1440 (m2)
Đáp số: 1440 m2
Xét tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp
\(\Rightarrow S_{ABC}=S_{AIB}+S_{BIC}+S_{CIA}=\frac{1}{2}AB.r+\frac{1}{2}BC.r+\frac{1}{2}CA.r\)
\(=\frac{1}{2}\left(AB+BC+CA\right).r=p.r\)
\(\Rightarrow r=\frac{S_{ABC}}{p}\)
Gọi I là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC
Ta có:
SABC=SABI+SACI−SBIC
=Rb/2 + Rc/2 − Ra/ 2
=R. (b+c−a/2)
=R(p−a)
=> R = S/(p-a) (đpcm)
V, h nó mới được như cũ, để t vt lại cho dễ nhìn
gọi a,b là 2 độ dài của hình chữ nhật
ta có BĐT cần chứng minh
<=>\(2\left(a+b\right)\ge\frac{32ab}{2ab+2\left(a+b\right)+2}\Leftrightarrow a+b\ge\frac{8ab}{ab+\left(a+b\right)+1}\)
<=>\(ab\left(a+b\right)+\left(a+b\right)^2+a+b\ge8ab\)
<=>\(\left(ab+1\right)\left(a+b\right)+\left(a+b\right)^2\ge8ab\)
ta luôn có \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
mà \(a+b\ge2\sqrt{ab};ab+1\ge2\sqrt{ab}\) =>\(\left(a+b\right)\left(ab+1\right)\ge4ab\)
+ vào thì ta sẽ ra đpcm
^_^
:V, OLM bị lỗi, t vt như vầy cố dịch nhé !
Ta có BĐT <=>2(a+b)>=32ab/[2ab+2(a+b)+2]
<=>a+b>=8ab/ab+a+b+1
quy đồng, rồi, ta có
(a+b)^2+(ab+1)(a+b)>=8ab
Áp dụng bđt cô-si, ta chứng minh được (a+b)^2 >=4ab
mà (ab+1)>=2.căn(ab); a+b>=2.căn(ab)
nhân vào, ta có (ab+1)(a+b)>=4ab
+ thêm cái kia, ta có BĐT cần phải chứng minh (ĐPCM)
^_^