Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Do \(0< x;y;z\le1\Rightarrow\left(x-1\right)\left(z-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow xz-x-z+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow xz+1\ge x+z\Rightarrow1+y+xz\ge x+y+z\)
\(\Rightarrow\frac{x}{1+y+xz}\le\frac{x}{x+y+z}\)
Hoàn toàn tương tự: \(\frac{y}{1+z+xy}\le\frac{y}{x+y+z}\) ; \(\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{z}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{x+y+z}{x+y+z}\le\frac{3}{x+y+z}\) (do \(x;y;z\le1\Rightarrow x+y+z\le3\))
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)
\(0\le x,y,z\le1\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\Rightarrow xy+1\ge x+y\)
Tương tự:
\(yz+1\ge y+z;zx+1\ge z+x\)
Khi đó
\(LHS\le\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\le\frac{2x}{x+y+z}+\frac{2y}{x+y+z}+\frac{2z}{x+y+z}=2\)
Không chắc nha !
Hãy tích nếu như bạn thông minh
Ai ko tích là bình thường
Còn ai dis là "..."
Ta có : \(\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\Rightarrow xy-\left(x+y\right)+1\ge0\)
\(\Rightarrow xy+z+1\ge x+y+z\Rightarrow\frac{y}{xy+z+1}\le\frac{y}{x+y+z}\)
Tương tự : \(\frac{x}{xz+y+1}\le\frac{x}{x+y+z}\); \(\frac{z}{yz+x+1}\le\frac{z}{x+y+z}\)
Cộng lại,ta được :
\(VT\le\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=1\)( 1 )
Mà \(x+y+z\le3\Rightarrow VP=\frac{3}{x+y+z}\ge1\)( 2 )
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra x = y = z = 1
Vậy ...
Bunhiacopxki: \(\left(x^2+yz+zx\right)\left(y^2+yz+zx\right)\ge\left(xy+yz+zx\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{xy}{x^2+yz+zx}\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
Thiết lập tương tự và cộng lại:
\(\Rightarrow VT\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)+yz\left(z^2+xy+zx\right)+zx\left(x^2+yz+xy\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
\(VT\le\frac{xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
Ta chỉ cần chứng minh: \(\frac{xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\)
\(\Leftrightarrow xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz\le\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2yz+xy^2z+xyz^2\le x^3y+y^3z+z^3x\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}\ge x+y+z\) (đúng theo Cauchy-Schwarz)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
x^2+1>=2x suy ra 1/x^2+1=y<=1/2x+y=1/x+x+y=1/9(9/x+x+y)<=1/x+1/x+1/y.
A(BT)<=1/9(3/x+3/y+3/z)=1/3(1/x+1/y+1/z)
Mà từ x+y+z=xy+yz+zx suy ra x+y+z=xy+yz+zx>=3
dễ dàng cm bằng phương pháp đánh giá suy ra 1/x+1/y+1/z<3
suy ra A<1/3.3=1(đpcm)
v~~ ko thằng admin :(( t làm cái bài này mất gần 30 phút mà bây giờ nó éo hiện câu trả lời của tao ???? hận quá đi
bài này easy lắm bạn ơi :((
áp dụng BDT (Am-ag) mẫu ta có
\(\left(x^2+y^2\right)\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\) rồi thay vào
suy ra \(\frac{1}{x^2+y^2+2}\le\frac{1}{2xy+2}\)
\(\left(y^2+z^2\right)\ge2yz\)
suy ra \(\frac{1}{y^2+z^2+2}\le\frac{1}{2yz+2}\)
tượng tự vs BDT con lại rồi + vế vs vế ta được
\(VT\le\frac{1}{2xy+2}+\frac{1}{2yz+2}+\frac{1}{2xz+2}=\frac{1}{xy+xy+1+1}+\frac{1}{yz+yz+1+1}+\frac{1}{xz+xz+1+1}\)
gọi cái \(\frac{1}{yz+yz+1+1}+.........=Pain\)
áp dụng cosi sáp cho 4 số ta được
\(\frac{1}{xy+xy+1+1}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}\right)\)
\(\frac{1}{yz+yz+1+1}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{yz}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}\right)\)
\(\frac{1}{xz+xz+1+1}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{xz}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}\right)\)
+ vế với vế ta được
\(VT\le Pain\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{xz}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{xy}+\frac{2}{2}+\frac{2}{2}+\frac{2}{2}\right)\)
\(VT\le PAIN\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xy}+1+1+1\right)\)
bây giờ m đi chứng minh cái \(\frac{1}{zy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xy}\ge3\) chắc là m làm được
áp dụng BDT cô si ta có
\(\frac{1}{xz}+xz\ge2\)
\(\frac{1}{yz}+yz\ge2\)
\(\frac{1}{xz}+zx\ge2\)
+ vế với vế ta được
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}+xy+yz+zx\ge6\)
mà đề bài cho xy+yz+xz=3 suy ra
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\ge3\)
nhưng mà nó trái dấu oy :(( kệ nhé cứ thay vào nhé không sao hết bạn oy :)
thay vào ta được
\(VT\le PAIN\le\frac{1}{8}\left(3+3\right)=\frac{3}{4}\)
ĐIỀU CẦN PHẢI CHỨNG MINH :((
Lời giải:
Ta có:
\(\text{VT}=\frac{1}{x^2+y^2+2}+\frac{1}{y^2+z^2+2}+\frac{1}{z^2+x^2+2}\)
\(\Rightarrow 2\text{VT}=\frac{2}{x^2+y^2+2}+\frac{2}{y^2+z^2+2}+\frac{2}{z^2+x^2+2}\)
\(2\text{VT}=1-\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+2}+1-\frac{y^2+z^2}{y^2+z^2+2}+1-\frac{z^2+x^2}{z^2+x^2+2}\)
\(2\text{VT}=3-\left(\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+2}+\frac{y^2+z^2}{y^2+z^2+2}+\frac{z^2+x^2}{z^2+x^2+2}\right)=3-A\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(A\geq \frac{(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2})^2}{2(x^2+y^2+z^2)+6}=\frac{(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2})^2}{2(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz)}(*)\)
Xét tử số:
\((\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2})^2\)
\(=2(x^2+y^2+z^2)+2(\sqrt{(x^2+y^2)(x^2+z^2)}+\sqrt{(x^2+y^2)(y^2+z^2)}+\sqrt{(y^2+z^2)(z^2+x^2)})\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\sqrt{(x^2+y^2)(x^2+z^2)}\geq \sqrt{(x^2+yz)^2}=x^2+yz\)
\(\sqrt{(x^2+y^2)(y^2+z^2)}\geq \sqrt{(xz+y^2)^2}=xz+y^2\)
\(\sqrt{(y^2+z^2)(z^2+x^2)}\geq \sqrt{(z^2+xy)^2}=z^2+xy\)
\(\Rightarrow \sum \sqrt{(x^2+y^2)(x^2+z^2)}\geq x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz\)
\(\Rightarrow (\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2})^2\geq 4(x^2+y^2+z^2)+2(xy+yz+xz)\)
\(\geq 3(x^2+y^2+z^2)+3(xy+yz+xz)=3(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz)\)
(theo BĐT AM-GM)
Do đó: Từ \((*)\Rightarrow A\geq \frac{3(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz)}{2(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz)}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow 2\text{VT}\leq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{3}{4}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=1\)
We have: \(\dfrac{1}{x^2+y^2+2}=\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2+2-z^2}\le\dfrac{1}{5-z^2}\)
Similarly and by adding them:
\(\dfrac{1}{5-x^2}+\dfrac{1}{5-y^2}+\dfrac{1}{5-z^2}\le\dfrac{3}{4}\left(\circledast\right)\)
We know that \(\dfrac{1}{5-x^2}\le\dfrac{3\left(x^2+x\right)}{8\left(x^2+x+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow-\dfrac{\left(x-1\right)^2\left(3x^2+9x+8\right)}{8\left(x^2-5\right)\left(x^2+x+1\right)}\le0\) It's obviously
\(\Rightarrow L.H.S_{\left(\circledast\right)}\le\dfrac{3}{8}\left(\dfrac{x^2+x}{x^2+x+1}+\dfrac{y^2+y}{y^2+y+1}+\dfrac{z^2+z}{z^2+z+1}\right)\le\dfrac{3}{4}\)
The equality occur when \(x=y=z=1\)
Done!
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT=\sqrt{\frac{xy}{z+xy}}+\sqrt{\frac{xz}{y+xz}}+\sqrt{\frac{yz}{x+yz}}\)
\(=\sqrt{\frac{xy}{z\left(x+y+z\right)+xy}}+\sqrt{\frac{xz}{y\left(x+y+z\right)+xz}}+\sqrt{\frac{yz}{x\left(x+y+z\right)+yz}}\)
\(=\sqrt{\frac{xy}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}+\sqrt{\frac{xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z}+\frac{x}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{y}{x+y}+\frac{z}{x+z}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{x+z}{x+z}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{x+y}{x+y}\right)=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" <=> \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Ủng hộ và kb với mình ha ^^