Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski, ta có :
\(\left[\left(\sqrt{\frac{2}{1-x}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)^2\right]\left[\sqrt{1-x}^2+\sqrt{x}^2\right]\ge\left(\sqrt{\frac{2}{1-x}}.\sqrt{1-x}+\sqrt{\frac{1}{x}}.\sqrt{x}\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}\right)\left(1-x+x\right)\ge\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)^2\Rightarrow A\ge3+2\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=\sqrt{2}-1\)
Dự đoán các biểu thức đạt GTLN / GTNN tại các mút hoặc tại các biến bằng nhau.
Việc còn lại là nhóm hợp lý sao cho dấu bằng xảy ra giống như dự đoán,
\(A=a^2+\frac{18}{a^2}=\left(\frac{18}{a^2}+\frac{a^2}{72}\right)+\frac{71a^2}{72}\ge2\sqrt{\frac{18}{a^2}.\frac{a^2}{72}}+\frac{71.6^2}{72}=\frac{73}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{18}{a^2}=\frac{a^2}{72}\\a=6\end{cases}}\Leftrightarrow a=6\)
\(B=a+a+\frac{1}{8a^2}+\frac{7}{8a^2}\ge3\sqrt[3]{a.a.\frac{1}{8a^2}}+\frac{7}{8.\left(\frac{1}{2}\right)^2}=5\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{8a^2}\\a=\frac{1}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}\)
c. \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\le\frac{1}{4}\), làm tương tự câu a, b
d.
\(t=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}\ge\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}=2\)
\(D=t+\frac{1}{t}\text{ }\left(t\ge2\right)\), làm tương tự câu a.
C1: Áp dụng bđt Côsi:
\(B=a+a+\frac{1}{8a^2}+\frac{7}{8a^2}\ge3\sqrt[3]{a.a.\frac{1}{8a^2}}+\frac{7}{8.\left(\frac{1}{2}\right)^2}=5\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=\frac{1}{2}\)
Đề: Cho \(0< a\le\frac{1}{2}\) . Hãy tìm GTNN của \(B=2a+\frac{1}{a^2}\)
\(------------\)
Ta có:
\(B=2a+\frac{1}{a^2}=\left(a+a+\frac{1}{8a^2}\right)+\frac{7}{8a^2}\)
Khi đó, áp dụng bất đẳng thức \(AM-GM\) cho bộ số có ba số thực không âm gồm \(\left(a;a;\frac{1}{8a^2}\right)\) (theo gt)
nên do đó, ta có thể thiết lập bđt đối với biểu thức \(B\) như sau:
\(B\ge3\sqrt[3]{a.a.\frac{1}{8a^2}}+\frac{7}{8a^2}=1\frac{1}{2}+\frac{7}{8a^2}\)
Kết hợp với điều kiện đã cho \(0< a\le\frac{1}{2}\) , ta suy ra được \(\frac{7}{8a^2}\ge\frac{7}{8\left(\frac{1}{2}\right)^2}=3\frac{1}{2}\)
Vậy, \(B\ge1\frac{1}{2}+3\frac{1}{2}=5\)
Dấu \("="\) xảy ra khi và chỉ khi \(a=\frac{1}{2}\)
Vậy, \(B_{min}=5\) khi \(a=\frac{1}{2}\)