Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có phương trình dao động điều hòa của vật:
\(x = 8 cos \left(\right. 5 \pi t + \frac{\pi}{3} \left.\right)\)
Trong đó:
Chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng câu hỏi.
Trạng thái đầu của vật là trạng thái tại thời điểm \(t = 0\).
Thay \(t = 0\) vào phương trình dao động:
\(x \left(\right. 0 \left.\right) = 8 cos \left(\right. 5 \pi \times 0 + \frac{\pi}{3} \left.\right) = 8 cos \left(\right. \frac{\pi}{3} \left.\right)\)
Biết rằng \(cos \left(\right. \frac{\pi}{3} \left.\right) = \frac{1}{2}\), ta có:
\(x \left(\right. 0 \left.\right) = 8 \times \frac{1}{2} = 4 \textrm{ } \text{cm}\)
Vậy, trạng thái đầu của vật là \(x = 4 \textrm{ } \text{cm}\).
Vị trí biên dương là giá trị cực đại của \(x\), tức là khi \(x = 8 \textrm{ } \text{cm}\) (biên độ dao động).
Ta cần tìm thời điểm \(t\) sao cho:
\(8 cos \left(\right. 5 \pi t + \frac{\pi}{3} \left.\right) = 8\)
Chia hai vế cho 8:
\(cos \left(\right. 5 \pi t + \frac{\pi}{3} \left.\right) = 1\)
Giải phương trình:
\(5 \pi t + \frac{\pi}{3} = 2 k \pi \text{v}ớ\text{i} \textrm{ } k \in \mathbb{Z}\)
Giải phương trình trên:
\(5 \pi t = 2 k \pi - \frac{\pi}{3}\)
Chia cả hai vế cho \(5 \pi\):
\(t = \frac{2 k \pi - \frac{\pi}{3}}{5 \pi} = \frac{2 k - \frac{1}{3}}{5}\)
Khi \(k = 0\), ta có:
\(t = \frac{- \frac{1}{3}}{5} = - \frac{1}{15} \textrm{ } \text{s}\)
Vì thời gian phải dương, ta chọn \(k = 1\):
\(t = \frac{2 - \frac{1}{3}}{5} = \frac{\frac{5}{3}}{5} = \frac{1}{3} \textrm{ } \text{s}\)
Vậy, thời điểm lần đầu vật đạt vị trí biên dương là \(t = \frac{1}{3} \textrm{ } \text{s}\).
Vị trí cân bằng là \(x = 0\), tức là khi \(cos \left(\right. 5 \pi t + \frac{\pi}{3} \left.\right) = 0\).
Ta giải phương trình:
\(cos \left(\right. 5 \pi t + \frac{\pi}{3} \left.\right) = 0\)
Điều này xảy ra khi:
\(5 \pi t + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k \pi \text{v}ớ\text{i} \textrm{ } k \in \mathbb{Z}\)
Giải phương trình:
\(5 \pi t = \frac{\pi}{2} + k \pi - \frac{\pi}{3}\)
Tính toán:
\(5 \pi t = \frac{\pi}{6} + k \pi\)
Chia cả hai vế cho \(5 \pi\):
\(t = \frac{\frac{\pi}{6} + k \pi}{5 \pi} = \frac{1}{30} + \frac{k}{5}\)
Khi \(k = 0\), ta có:
\(t = \frac{1}{30} \textrm{ } \text{s}\)
Vậy, thời điểm lần đầu vật qua vị trí cân bằng là \(t = \frac{1}{30} \textrm{ } \text{s}\).
Vị trí \(x = - 4 \textrm{ } \text{cm}\) ứng với phương trình:
\(- 4 = 8 cos \left(\right. 5 \pi t + \frac{\pi}{3} \left.\right)\)
Chia hai vế cho 8:
\(- \frac{1}{2} = cos \left(\right. 5 \pi t + \frac{\pi}{3} \left.\right)\)
Giải phương trình:
\(5 \pi t + \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3} + 2 k \pi \text{v}ớ\text{i} \textrm{ } k \in \mathbb{Z}\)
Tính toán:
\(5 \pi t + \frac{\pi}{3} = \frac{2 \pi}{3} + 2 k \pi\)\(5 \pi t = \frac{2 \pi}{3} + 2 k \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2 k \pi\)
Chia cả hai vế cho \(5 \pi\):
\(t = \frac{\frac{\pi}{3} + 2 k \pi}{5 \pi} = \frac{1}{15} + \frac{2 k}{5}\)
Vậy:
\(t_{1} = \frac{1}{15} \textrm{ } \text{s} \left(\right. k = 0 \left.\right)\)\(t_{2} = \frac{7}{15} \textrm{ } \text{s} \left(\right. k = 1 \left.\right)\)\(t_{3} = \frac{13}{15} \textrm{ } \text{s} \left(\right. k = 2 \left.\right)\)\(t_{4} = \frac{19}{15} \textrm{ } \text{s} \left(\right. k = 3 \left.\right)\)\(t_{5} = \frac{25}{15} = \frac{5}{3} \textrm{ } \text{s} \left(\right. k = 4 \left.\right)\)
Vậy, thời điểm lần thứ 5 vật qua vị trí \(x = - 4 \textrm{ } \text{cm}\) với \(v > 0\) là \(t = \frac{5}{3} \textrm{ } \text{s}\).
