Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: góc AEH+góc ADH=180 độ
=>AEHD nội tiêp
góc BEC=góc BDC=90 độ
=>BEDC nội tiếp
b: góc ABI=góc ACK(=90 độ-góc BAC)
góc ABI=1/2*sđ cung AI
góc ACK=1/2*sđ cung AK
=>sđ cung AI=sđ cung AK
=>AI=AK
Mình sửa lại đề: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp (O). Đường cao BD, CE cắt nhau tại H. EF cắt BC tại F. AF cắt lại (O) tại K. Gọi M là trung điểm của BC.
a) Từ gt dễ thấy tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn tâm M.
b) Tứ giác BCDE nội tiếp nên theo phương tích ta có FB . FC = FD . FE.
Tứ giác AKBC nội tiếp nên theo phương tích ta có FK . FA = FB . FC.
Vậy ta có đpcm.
c) Ta có FA . FK = FE . FD nên theo phương tích đảo ta có tứ giác AKED nội tiếp.
Gọi giao điểm thứ hai của đường tròn đường kính AH và FH là N.
Khi đó FH . FN = FE . FD = FB . FC.
Suy ra tứ giác BHNC nội tiếp.
Ta có \(\widehat{DNC}=360^o-\widehat{DNH}-\widehat{CNH}=\left(180^o-\widehat{DNH}\right)+\left(180^o-\widehat{CNH}\right)=\widehat{DEH}+\widehat{HBC}=2\widehat{HBC}=\widehat{DMC}\).
Do đó tứ giác DNMC nội tiếp.
Tương tự tứ giác ENMB nội tiếp.
Suy ra \(\widehat{DNM}+\widehat{DNA}=180^o-\widehat{ACB}+\widehat{AED}=180^o\) nên A, N, M thẳng hàng.
Từ đó \(\widehat{MHN}=\widehat{ANH}=90^o\) nên \(FH\perp AM\).
(Câu c là trường hợp đặc biệt của định lý Brocard khi tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn tâm M).
1.
Chứng minh được .
Suy ra điểm cùng thuộc đường tròn đường kính nên tứ giác nội tiếp.
Có tứ giác nội tiếp nên ( góc nội tiếp cùng chắn cung ) hay .
Trong đường tròn tâm , ta có là góc nội tiếp chắn cung và nội tiếp chắn cung
.
2.
có nên hay .
Ta chứng minh được vừa là đường cao, vừa là phân giác của tam giác nên là trung điểm của .
Chứng minh tương tự là trung điểm của là đường trung bình của tam giác (1).
Do nên là điểm chính giữa cung (2).
Từ (1) và (2) suy ra .
3.
Kẻ đường kính của đường tròn tâm , chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính .
Chứng minh tứ giác là hình bình hành, suy ra .
Trong đường tròn có (2 góc nội tiếp cùng chắn cung ). Chỉ ra tam giác vuông tại và áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc ta được cm.
Đường tròn ngoại tiếp tứ giác cũng là đường tròn ngoại tiếp tam giác .
Gọi là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác .
Suy ra cm.
Vậy cm.
a: Xét tứ giác BEDC có
góc BEC=góc BDC=90 độ
=>BEDC là tứ giác nội tiêp
b: góc ABM=góc ACN
=>sđ cung AM=sđ cung AN=2*30=60 độ
=>AM=AN
c: OM=ON
AM=AN
=>OA là trung trực của MN
=>OA vuông góc MN
d: Kẻ đường kính AD
Xét ΔACD vuông tại C và ΔAKB vuông tại K có
góc ADC=góc ABK
=>ΔACD đồng dạng với ΔAKB
=>AC/AK=AD/AB
=>AK*2*R=AB*AC
Lời giải:
a) Do $BD, CE$ là đường cao tg $ABC$ nên \(CE\perp AB, BD\perp AC\)
\(\Rightarrow \widehat{AEH}=\widehat{ADH}=\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0\)
Xét tứ giác $ADHE$ có hai góc đối \(\widehat{AEH}+\widehat{ADH}=90^0+90^0=180^0\) nên là tứ giác nội tiếp.
Xét tứ giác $BCDE$ có hai góc cùng nhìn một cạnh $BC$ là \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}\) nên là tứ giác nội tiếp.
Ta có đpcm.
b)
Vì tứ giác $BCDE$ nội tiếp nên \(\widehat{ECB}=\widehat{EDB}\)
Mà \(\widehat{ECB}=\widehat{NMB}\) (góc nội tiếp cùng nhìn cung BN)
\(\Rightarrow \widehat{EDB}=\widehat{NMB}\)
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(DE\parallel MN\)