PHÒNG GD & ĐT LÂM THAO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn Toán - Lớp 6. Năm học 2016 – 2017 Thời gian: 90 phút I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (6 điểm) Câu 1- Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị. A. 30 B. 40 C. 45 D. 55 Câu 2- Tổng của hai số tự nhiên là 102. Nếu thêm chữ số 0 vào bên phải số bé rồi cộng với số lớn ta được tổng mới là 417. Khi đó số lớn là: A. 43 B. 54 C. 60 D. 67 Câu 3- Kết quả của phép tính 1 - 2 + 3 - 4 + 5 – 6 + … + 99 – 100 là: A. 50 B. – 50 C. – 100 D 0 Câu 4- Tập hợp các số nguyên n để (n + 3) (n + 1) là: A. {0; 1; -2; -3} B. {0; 1} C. {-2; -3} D. {1; 2; -1; -2} Câu 5- Cho 7 ô liên tiếp sau: -13 a -27 Biết rằng tổng ba ô liên tiếp bất kỳ luôn bằng 0. Khi đó giá trị của a là: A. – 13 B. – 27 C. 13 D. 27 Câu 6- Cho Tỷ số là: A. B. C. D. Câu 7- Trung bình cộng của tử số và mẫu số của một phân số là 68. Cộng thêm vào tử số của phân số đó 4 đơn vị thì được phân số mới bằng phân số . Phân số lúc đầu là: A. B. C. D. Câu 8- Trên đường thẳng a lấy 3 điểm M, N, P sao cho: MN = 2cm, NP = 5cm. Khi đó độ dài đoạn thẳng MP bằng: A. 3cm B. 7cm C. 3cm hoặc 7cm D. 3,5cm Câu 9- Cho 100 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua 2 điểm vẽ một đường thẳng. Số đường thẳng vẽ được là: A. 200 B. 4950 C. 5680 D. 9900 Câu 10- Cho , tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy sao cho . Số đo là: A. 500 B. 1100 C. 500 hoặc 1100 D. 800 Câu 11- Cho , Oz là tia phân giác của , Ot là tia phân giác của . Số đo của là: A. 200 B. 400 C. 500 D. 600 Câu 12- Có 9 miếng bánh chưng cần rán vàng cả hai mặt. Thời gian rán mỗi mặt cần 3 phút. Nếu dùng một chiếc chảo mỗi lần chỉ rán được nhiều nhất 6 miếng thì cần thời gian ít nhất là bao lâu để rán xong 9 miếng bánh chưng đó. A. 9 phút B. 12 phút C. 18 phút D. 27 phút II. PHẦN TỰ LUẬN Câu 1- (4 điểm) a) Cho biết a + 4b chia hết cho 13 (a, b N). Chứng minh rằng 10a + b chia hết cho 13. b) Tìm số nguyên tố (a > b > 0) sao cho là số chính phương. Câu 2- (4 điểm) a) Cho M = (– a + b) – (b + c – a) + (c – a).Trong đó b, c Z còn a là một số nguyên âm Chứng minh rằng biểu thức M luôn luôn dương. b) Tìm tất cả các cặp số nguyên sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng. Câu 3- (4 điểm) Cho đoạn thẳng AB; điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của OA, OB. a. Chứng tỏ rằng OA < OB. b. Trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? c . Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB). Câu 4- (2 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: ------- Hết ------- PHÒNG GD & ĐT LÂM THAO ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn Toán - Lớp 6. Năm học 2016 – 2017 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (6 điểm) ( Thời gian làm bài 30 phút gồm 12 câu, tổng 6 điểm, mỗi câu 0,5 điểm. Mỗi câu có 4 phương án trả lời và có ít nhất một phương án đúng ). Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ĐA C D B A B C D C B A D A Câu 6- II. PHẦN TỰ LUẬN (Thời gian làm bài 60 phút gồm 4 câu, tổng 14 điểm) Câu Đáp án Điểm 1 a) 4b 13 10a + 40b 13 hay 10a + b + 39b 13 mà 39b 13 nên 10a + b 13 2 điểm b) {43; 73} 2 điểm 2 a) M = - a mà a là số nguyên âm nên M luôn luôn dương 2 điểm b) x = 0, y = 0 hoặc x = 2; y = 2 2 điểm 3 a) Lập luận chứng tỏ được OA < OB. 1 điểm b) Trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Lập luận chứng tỏ OM < ON nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N 1 điểm c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB). . Vì AB có độ dài không đổi nên MN có độ dài không đổi 2 điểm 4 B = 15 2 điểm PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 HUYỆN THẠCH THÀNH MÔN: TOÁN NĂM HỌC: 2016 – 2017 Câu 1: (4,0 điểm). 1. Tính giá trị các biểu thức sau: a) A = 68.74 + 27.68 – 68 b) B = 23.53 – 3.{539 – [639 – 8.(78 : 76 + 20170)]} c) C = d) D = Câu 2: (2,0 điểm). Tìm số nguyên x, biết: a) 2016 : [25 – (3x + 2)] = 32.7 b) Câu 3: (3,0 điểm) a) Cho A = 3 + 32 + 33 + 34 + … + 390. Chứng minh rằng A chia hết cho 11 và 13 b) Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho: xy – 2x + y + 1 = 0 Câu 4: (4,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số, sao cho chia nó cho 8 thì dư 7 và chia nó cho 31 thì dư 28 . b) Tìm số nguyên n để phân số có giá trị là một số nguyên Câu 5: (5,0 điểm). Vẽ hai góc kề bù xOy và zOy. Vẽ tia Om và tia On theo thứ tự là tia phân giác của các góc xOy và góc zOy. Vẽ tia Om' là tia đối của tia Om. a) Tính số đo góc mOn b) Tính số đo của góc kề bù với góc yOm, biết c) Cần vẽ thêm bao nhiêu tia phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo thành tất cả 300 góc. Câu 6: (2,0 điểm)a) Tìm các số tự nhiên a và b thỏa mãn: (100a + 3b + 1)(2a + 10a + b) = 225 b) Cho A = Chứng minh A ĐÁP ÁN Câu 1: (4,0 điểm). 1. a) A = 68.74 + 27.68 – 68 = 68.(74 + 27 – 1) = 68.100 = 6800 b) B = 23.53 – 3.{539 – [639 – 8.(78 : 76 + 20170)]} B = 8.125 – 3.{539 – [639 – 8.(72 + 1)]} B = 1000 – 3.{539 – [639 – 8.(49 + 1)]} B = 1000 – 3.{539 – [639 – 8.50]} B = 1000 – 3.{539 – [639 – 400]} B = 1000 – 3.{539 – 239} B = 1000 – 3.300 B = 1000 – 900 B = 100 c) C = C = C = C = C = 0 + 1 C = 1 d) D = D = D = D = D = D = D = Câu 2: a) 2016 : [25 – (3x + 2)] = 32.7 2016 : [25 – (3x + 2)] = 9.7 2016 : [25 – (3x + 2)] = 63 25 – (3x + 2) = 2016 : 63 25 – (3x + 2) = 32 3x + 2 = 25 – 32 3x + 2 = – 7 3x = – 9 x = – 3 b) x = 11 Câu 3: a) A có 90 số hạng mà 90 5 nên: A = 3 + 32 + 33 + 34 + … + 390 A = (3 + 32 + 33 + 34 + 35) + (36 + 37 + 38 + 39 + 310) + … + (386 + 387 + 388 + 389 + 390) A = 3.(1 + 3 + 32 + 33 + 34) + 36.(1 + 3 + 32 + 33 + 34) + … + 386.(1 + 3 + 32 + 33 + 34) A = 3.121 + 36.121 + … + 386.121 A = 121(3 + 36 + … + 386) A = 11.11(3 + 36 + … + 386) 11 A 11 A có 90 số hạng mà 90 3 nên: A = 3 + 32 + 33 + 34 + … + 390 A = (3 + 32 + 33) + (34 + 35 + 36) + … + (388 + 389 + 390) A = 3.(1 + 3 + 32) + 34.(1 + 3 + 32) + … + 388.(1 + 3 + 32) A = 3.13 + 34.13 + … + 388.13 A = 13(3 + 34 + … + 388) 11 A 13 b) Ta có: xy – 2x + y + 1 = 0 x(y – 2) + (y – 2) + 1 = – 2 (x + 1)(y – 2) = – 3 = 1. (– 3) = ( – 3).1 Ta có bảng sau: x + 1 1 – 3 y – 2 – 3 1 x 0 – 4 y – 1 3 Câu 4: a) Gọi số cần tìm là a ( ) Vì a chia cho 8 thì dư 7 và chia cho 31 thì dư 28 nên: Vì (8, 31) = 1 nên a + 65 (8.31) hay a + 65 248 a = 248k – 65 (k N*). Vì a là số có 3 chữ số lớn nhất nên k = 4, khi đó a = 248.4 – 65 = 927. Vậy số cần tìm là 927 b) Ta có: = Vì n nguyên nên để nguyên thì nguyên hay 2n – 1 Ư(7) = {–7; –1; 1; 7} 2n {– 6; 0; 2; 8} n {– 3; 0; 1; 4} Vậy với n {– 3; 0; 1; 4} thì có giá trị là một số nguyên Câu 5: (5,0 điểm). a) Vì kề bù với nên: + = 1800 Vì tia Om là tia phân giác của nên: Vì tia On là tia phân giác của nên: Vì kề bù với nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz mà tia Om là tia phân giác của và tia On là tia phân giác của nên tia Oy nằm giữa hai tia Om và On, khi đó: + = + = = = = 900 b) Vì hai tia Om và Om' đối nhau, khi đó kề bù với + = 1800 300 + = 1800 = 1500 Vì hai tia Ox và Oz đối nhau, khi đó kề bù với + = 1800 1500 + = 1800 = 300 Vì tia Om là tia phân giác của nên: = 300 Vì hai tia Om và Om' đối nhau, khi đó kề bù với + = 1800 300 + = 1800 = 1500 c) Giả sử cần vẽ thêm n tia phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo thành tất cả 300 góc. Khi đó tổng số tia gốc O trên hình là n + 6 Cứ 1 tia gốc O tạo với n + 5 tia gốc O còn lại thành n + 5 góc, mà có n + 6 tia như vậy nên tạo thành: (n + 5)(n + 6) góc Vì tia này tạo với kia và ngược lại nên mỗi góc được tính hai lần, suy ra số góc tạo thành là: góc Vì có 300 góc được tạo thành nên: = 300 (n + 5)(n + 6) = 600 = 24.25 n + 5 = 24 n = 19 Câu 6: a) Ta có: (100a + 3b + 1)(2a + 10a + b) = 225 (1) vì 225 lẻ nên cùng lẻ (2) *) Với a = 0: (1) (100.0 + 3b + 1)(20 + 10.0 + b) = 225 (3b + 1)(1 + b) = 225 = 32.52 Vì 3b + 1 chia cho 3 dư 1 và 3b + 1 > 1 + b nên: (3b + 1)(1 + b) = 25.9 *) Với a là số tự nhiên khác 0: Khi đó 100a chẵn, từ (2) 3b + 1 lẻ b chẵn 2a + 10a + b chẵn, trái với (2) nên b Vậy: a = 0 ; b = 8 b) Ta có: A = A = A = A = A < A < A < A < A < PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN GIA VIỄN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2016- 2017 Câu 1: (4,5 điểm). Thực hiện các phép tính sau: a. b. c. Câu 2: (4,5 điểm)Tìm số tự nhiên x, biết: a. b. c. Tìm số nguyên n để: chia hết cho Câu 3: (4,0 điểm) a. Cần dùng tất cả bao nhiêu chữ số để đánh số trang của quyển sách dày 199 trang? (bắt đầu từ trang số 1) b. Tìm các chữ số x; y để chia hết cho 2; 5 và 9 đều dư 1 Câu 4: (6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB = 7cm. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB, trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho AN = AM. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, vẽ các tia Ax, Ay sao cho . a.Tính BN khi BM = 2cm? b. Chứng tỏ rằng: Ay là tia phân giác của c. Xác định vị trí của điểm M trên đoạn thẳng AB để đoạn thẳng BN có độ dài lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất của BN khi đó. Câu 5: (1,0 điểm)Tìm số dư trong phép chia khi chia một số tự nhiên cho 91. Biết rằng nếu lấy số tự nhiên dố chia cho 7 thì được số dư là 5 và chia cho 13 thì được số dư là 4 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI : TOÁN 6 Thời gian làm bài: 120 phút. Bài 1: (6,0 điểm).Tính nhanh: a) A = b) B = (-528) + (-12) + (-211) + 540 + 2225 c) M = d) D = e) So sánh: N = và M = Bài 2: (3,0 điểm) Cho S = 1 – 3 + 32 – 33 + ... + 398 – 399. a) Chứng minh rằng S là bội của -20. b) Tính S, từ đó suy ra 3100 chia cho 4 dư 1. Bài 3: (5,0 điểm). a) Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 504 và ƯCLN của chúng bằng 42 b) Tìm a để a + 1 là bội của a – 1 c) Cho K = 1028 + 8. Chứng minh rằng K chia hết cho 72 Bài 4: (4,0 điểm). Trên đường thẳng AM lấy một điểm O (O nằm giữa A và M). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AM vẽ các tia OB, OC sao cho: góc MOC = 1150; góc BOC = 700. Trên nửa mặt phẳng đối diện dựng tia OD (D không cùng nằm trong nửa mặt phẳng với B,C qua bờ là AM) sao cho góc AOD = 450. a) Tia OB nằm giữa hai tia OM, OC không? vì sao? b) Tính góc MOB và góc AOC ? c) Chứng tỏ rằng 3 điểm D, O, B thẳng hàng. Bài 5: (2,0 điểm). Trong mét cuéc thi cã 50 c©u hái. Mçi c©u tr¶ lêi ®óng ®îc 20 ®iÓm, cßn tr¶ lêi sai bÞ trõ 15 ®iÓm. Mét häc sinh ®îc tÊt c¶ 650 ®iÓm. Hái b¹n ®ã tr¶ lêi ®îc mÊy c©u ®óng ? (Thí sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi) Bài 1 (6,0 điểm) A = = = 3. 2đ b) B = (-528) + (-12) +(-211)+ 540+2225 B = (-528+(-12)+540)+(-211+211)+2014. Vậy B = 2014 2.0đ c) M = - Đặt A = 1+3+32+33 + ...+32012 - Tính được A = 32013 – 1 1.0 đ - Đặt B = 32014 – 3 - Tính được B = 3.(32013 – 1) 0.5đ - Tính được M = 0.5đ Bài 2 3 điểm Tổng S có 100 số hạng chia thành 25 nhóm , mỗi nhóm có 4 số hạng : S= 1 – 3 + 32 – 33 + ... + 398 – 399 = (1 – 3 + 32 – 33) + (34 – 35 + 36 – 37) +...+(396 – 397 + 398 – 399) 1 đ = ( - 20 ) + 34( - 20 ) +...+ 396( - 20 ) -20 Vậy S -20 1 đ) b) S= 1 – 3 + 32 – 33 + ... + 398 – 399 3S = 3 – 32 + 33 – 34 +...+399 – 3100 0.5 đ Cộng từng vế của 2 đẳng thức ta được : 3S + S = ( 3+1 ) S = 4S = S là một số nguyên nên 1 – 3100 4 hay 3100 – 1 4 3100 chia cho 4 dư 1 0.5đ Bài 3a) gọi a,b là hai số cần tìm a, b N*,a>b, a = 42a’, b =42b’ trong đó a’, b’ N* [a’,b’]=1 vì a>b nên a’>b’ 0.5đ a+b=504 suy ra a’+b’ = 12 có các cặp a’,b’ thỏa mãn là (11;1);(7;5) suy ra các cặp số thảo man bài toán là (462;42); (294;210) 0.5đ b) Để a +1 là bội của a -1 nên thì là số nguyên a -1 = {-1,1,2} nên a ={0,2,3} c) Lập luận được K chia hết cho 9 vì tổng các chữ số là 9 và chia hết cho 8 vì ba chữ số tận cùng là 008. Vậy K chia hết cho 72 2 đ 2 đ Bài 4 4 điểm a) Nếu OB nằm giữa 2 tia OA, OC thì ta có : = 1850 > 1800 (vô lý) Vậy OB nằm giữa 2 tia OM, OC. 1.0đ b) Do tia OB nằm giữa 2 tia OM, OC nên : 0.5đ = 1150 - 700 = 450 0.5đ Hai góc là 2 góc kề bù nên : = 1800 0.5đ c) Hai góc và là 2 góc kề bù =1800- 450 = 1350 0.5đ Hai góc là góc có cạnh chung OA. Còn 2 cạnh OD, OB nằm trong 2 nửa mặt phẳng đối nhau bờ AM nên : = 450 + 1350 = 1800 OD, OB là 2 tia đối nhau. D, O, B thẳng hàng. 0.5đ Bµi 5. NÕu b¹n ®ã tr¶ lêi ®îc 50 c©u th× tæng sè ®iÓm lµ 50 x 20 = 1.000 (®iÓm) Nhng b¹n chØ ®îc 650 ®iÓm cßn thiÕu 1.000 – 650 = 350 (®iÓm). ThiÕu 350 ®iÓm v× trong sè 50 c©u b¹n ®• tr¶ lêi sai mét sè c©u. Gi÷a c©u tr¶ lêi ®óng vµ tr¶ lêi sai chªnh lÖch nhau 20 + 15 = 35(®iÓm). Do ®ã c©u tr¶ lêi sai cña b¹n lµ 350:35 =10 (c©u) VËy sè c©u b¹n ®• tr¶ lêi ®óng lµ 50 – 10 = 40 (c©u) 2 Ubnd huyÖn vò th¬ phßng GI¸o Dôc & §µO T¹o §Ò kh¶o s¸t chän häc sinh giái cÊp huyÖn N¨m häc 2015 - 2016 Bµi 1 (4 ®iÓm): TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: 1) 2) Bµi 2 ( 4 ®iÓm): 1) Cho Chøng minh r»ng Cchia hết 21 và C chia hết 105 2) Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn kh¸c 0, cã sè l¬îng c¸c ¬íc tự nhiên lµ mét sè lÎ th× sè tù nhiªn ®ã lµ mét sè chÝnh ph¬¬ng. Bµi 3 ( 4 ®iÓm):1) T×m sè d¬ trong phÐp chia khi chia mét sè tù nhiªn cho 91. BiÕt r»ng nÕu lÊy sè tù nhiªn ®ã chia cho 7 th× ®¬îc d¬ lµ 5 vµ chia cho 13 th× ®¬îc d¬ lµ 4. 2) T×m c¸c cÆp sè nguyªn (x, y) biÕt: Bµi 4 (2 ®iÓm): Cho vµ TÝnh tØ sè: Bµi 5 ( 4 ®iÓm): Cho tam gi¸c ABC cã . §iÓm E n»m gi÷a B vµ C sao cho . Trªn mÆt ph¼ng cã bê AC chøa ®iÓm B kÎ tia Ax sao cho , tia Ax c¾t BC ë F. a) Chøng minh F n»m gi÷a E vµ C. TÝnh sè ®o cña . b) Gäi AI lµ tia ph©n gi¸c cña . Chøng minh AI còng lµ tia ph©n gi¸c cña . Bµi 6 (2 ®iÓm): Cho biÓu thøc: So s¸nh D víi 6. BiÕt n! = 1.2.3.....n; Bµi ý Néi dung §iÓm Bµi 1 (4 ®iÓm) 1 2,0 ®iÓm Ta cã tæng A cã 2016 sè h¹ng nªn cã 2016 : 4 = 504 nhãm 0,5 0,25 A = 4 + 4 + 4 + ….. + 4 (tæng cã 504 sè 4) 0,5 A = 4. 504 0,25 A = 2016 0,5 VËy A = 2016 2 2,0 ®iÓm 0,5 0,5 Ta thÊy tÝch B cã 99 thõa sè ©m nªn tÝch mang dÊu ©m 0,5 0,5 B = - 25 VËy B = - 25 Bµi 2 (4®iÓm) 1 Cho Chøng minh r»ng C 21 và C 105 2,0 ®iÓm Chøng minh C 21 0,75 Ta cã: Do ®ã: 0,25 0,25 0,25 Chøng minh C 105 1,25 ®iÓm Chøng minh C 5 0,75 Do ®ã: 0,25 0,25 0,25 Ta cã vµ mµ (5 ; 21 ) = 1 Do ®ã hay 0,5 2 Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn kh¸c 0, cã sè l¬îng c¸c ¬íc lµ mét sè lÎ th× sè tù nhiªn ®ã lµ mét sè chÝnh ph¬¬ng. 2,0 ®iÓm Gäi sè tù nhiªn ®ã lµ P (P 0) NÕu P = 1 ta cã 1 = 12 P lµ sè chÝnh ph¬¬ng 0,5 NÕu P > 1. Ph©n tÝch P ra thõa sè nguyªn tè ta cã P = (víi a, b, ... , c lµ c¸c sè nguyªn tè) Khi ®ã sè l¬îng c¸c ¬íc cña P lµ (x + 1).(y + 1).....(z + 1) Theo bµi ra (x + 1).(y + 1).....(z + 1) lµ sè lÎ x + 1 , y + 1 , ... , z + 1 ®Òu lµ c¸c sè lÎ x, y , ... , z ®Òu lµ c¸c sè ch½n Do ®ã x = 2.m ; y = 2.n ; ... ; z = 2.t Nªn P = P lµ sè chÝnh ph¬¬ng 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 VËy chøng tá víi mäi sè tù nhiªn kh¸c 0, cã sè l¬îng c¸c ¬íc lµ mét sè lÎ th× sè tù nhiªn ®ã lµ mét sè chÝnh ph¬¬ng. 0,25 Bµi 3 (4®iÓm) 1 T×m sè d¬ trong phÐp chia khi chia mét sè tù nhiªn cho 91. BiÕt r»ng nÕu lÊy sè tù nhiªn ®ã chia cho 7 th× ®¬îc d¬ lµ 5 vµ chia cho 13 th× ®¬îc d¬ lµ 4. 2,0 ®iÓm Gäi sè tù nhiªn ®ã lµ a Theo bµi ra ta cã: a = 7.p + 5 vµ a = 13.q + 4 (víi p, q N ) Suy ra: a + 9 = 7.p + 14 = 7.(p + 2) 7 a + 9 = 13.q + 13 = 13.(q + 1) 13 0,25 0,5 Ta cã a + 9 7 vµ a+ 9 13 mµ (7 ; 13) = 1 Do ®ã a + 9 7. 13 hay a + 9 91 0,5 VËy a + 9 = 91.k (víi k N ) a = 91.k – 9 = 91.k – 91 + 82 = 91.(k-1) + 82 0,5 Nªn a chia cho 91 cã sè d¬ lµ 82. 0,25 2 T×m c¸c cÆp sè nguyªn (x; y) biÕt: 2,0 ®iÓm Ta cã: 0,5 = 1.5 = - 5 . (-1) = - 1 . (-5) Nªn ta cã b¶ng sau 0,25 x + 5 5 1 -5 -1 y-1 1 5 -1 -5 x 0 -4 -10 -6 y 2 6 0 -4 0,75 VËy c¸c cÆp sè nguyªn (x;y) lµ: (0;2) ; (- 4; 6) ; (- 10; 0) ; (- 6;- 4) 0,5 Bµi 4 2 ®iÓm Cho vµ TÝnh tØ sè: 2,0 ®iÓm 1 Ta cã 0,75 0,75 2 Ta cã VËy tØ sè 0,5 Bµi 5 4 ®iÓm Cho tam gi¸c ABC cã gãc BAC = 1200 . §iÓm E n»m gi÷a B vµ C sao cho gãc BAE = 300 . Trªn mÆt ph¼ng cã bê AC chøa ®iÓm B kÎ tia Ax sao cho gãc CAx = 300, tia Ax c¾t BC ë F. a) Chøng minh F n»m gi÷a E vµ C. TÝnh sè ®o cña gãc EAF. c) Gäi AI lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BAC. Chøng minh AI còng lµ tia ph©n gi¸c cña gãc EAF. 1 2,0 ®iÓm Theo bµi ra ta cã ®iÓm E n»m gi÷a hai ®iÓm B vµ C Nªn tia AE n»m gi÷a hai tia AB vµ AC Ta cã: gãc BAE + gãc EAC = gãc BAC 300 + gãc EAC = 1200 gãc EAC = 1200 – 300 = 900 XÐt nöa mÆt ph¼ng bê AC cã chøa ®iÓm B Ta cã: gãc CAF = 300 gãc CAE = 900 gãc CAF < gãc CAE (v× 300 < 900) Do ®ã tia AF n»m gi÷a hai tia AC vµ AE VËy ®iÓm F n»m gi÷a hai ®iÓm C vµ E 0,75 0,5 0,25 gãc CAF + gãc FAE = gãc CAE 300 + gãc FAE = 900 gãc FAE = 600 0,5 2 2,0 ®iÓm Ta cã: AI lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BAC Nªn gãc BAI = gãc CAI = *) XÐt nöa mÆt ph¼ng bê AC cã chøa ®iÓm B Cã gãc CAF < gãc CAI (v× 300 < 600) Suy ra tia AF n»m gi÷a hai tia AC vµ AI gãc CAF + gãc FAI = gãc CAI 300 + gãc FAI = 600 gãc FAI = 300 *) XÐt nöa mÆt ph¼ng bê AF cã chøa ®iÓm B Ta cã: gãc FAE = 600 vµ gãc FAI = 300 gãc FAI < gãc FAE (v× 300 < 600) Tia AI n»m gi÷a hai tia AF vµ AE H¬n n÷a gãc FAI = gãc FAE (v× ) Do ®ã AI lµ ph©n gi¸c cña gãc FAE. 0,5 0,5 0,5 0,5 Bµi 6 2 ®iÓm Cho biÓu thøc So s¸nh D víi 6. BiÕt n! = 1.2.3…..n 2,0 ®iÓm Ta cã Ta thÊy ………………………………… Do ®ã VËy D < 6 0,5 0,5 0,5 0,5 UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2015-2016 Bài 1: (1,0điểm) Thực hiện phép tính (tính hợp lý nếu có thể) a/ 1968: 16 + 5136: 16 -704: 16 b/ 23. 53 - 3 {400 -[ 673 - 23. (78: 76 +70)]} Bài 2: (1,0điểm) M có là một số chính phương không nếu: M = 1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) (Với n N , n 0) Bài 3:(1,5điểm) Chứng tỏ rằng: a/ (3100+19990) 2 b / Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4 Bài 4: (1,0điểm) So sánh A và B biết: A = , B = Bài 5: (2,0điểm) Tím tất cả các số nguyên n để: a) Phân số có giá trị là một số nguyên b) Phân số là phân số tối giản Bài 6: (2,5điểm) Cho góc xBy = 550.Trên các tia Bx, By lần lượt lấy các điểm A, C (A B, C B). Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho góc ABD = 300 a/ Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm b/ Tính số đo góc DBC c/ Từ B vẽ tia Bz sao cho góc DBz = 900. Tính số đo ABz. Bài 7: (1,0điểm) Tìm các cặp số tự nhiên x , y sao cho: (2x + 1)(y – 5) = 12 ---------- HẾT ---------- Bài 1: (1,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm a = 16(123+ 321 - 44):16 0,25 = 400 0,25 b =8.125-3.{400-[673-8.50]} 0,25 = 1000-3.{400-273} =619 0,25 Bài 2: (1,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm M = 1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) (Với n N , n 0) Tính số số hạng = (2n-1-1): 2 + 1 = n 0,5 Tính tổng = (2n-1+1) n: 2 = 2n2: 2 = n 2 KL: M là số chính phương 0,5đ Bài 3: (1,5 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm a Ta có: 3100 = 3.3.3….3 (có 100 thừa số 3) = (34)25 = 8125 có chữ số tận cùng bằng 1 19990 = 19.19…19 (có 990 thứa số 19) = (192)495 = 361495 (có chữ số tận cùng bằng 1 Vậy 3100+19990 có chữ số tận cùng bằng 2 nên tổng này chia hết cho 2 0,25 0,25 0,5 b Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là: a; (a +1);(a + 2);(a + 3); (a ) Ta có: a + (a+1) + (a+2) + (a+3) = 4a + 6 Vì 4a 4; 6 không chia hết 4 nên 4a+ 6 không chia hết 4 0,25 0,25 Bài 4: (1,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm Vì A = < 1 A= < = = = B Vậy A < B 0,75 0,25 Bài 5: (2,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm a là số nguyên khi (n+1) (n-2) Ta có (n+1) = Vậy (n+1) (n-2) khi 3 (n-2) (n-2) Ư(3) = => n 0.5 0,5 b Gọi d là ƯC của 12n+1 và 30n+2 (d N*) 0,25 (60n+5-60n-4) d 1 d mà d N* d = 1 0,5đ Vậy phân số đã cho tối giản 0,25 Bài 6: (2,5 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm a b Vẽ hình đúng TH1 TH2 Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm giữa A và C: AC= AD + CD = 4+3 = 7 cm Chứng minh được tia BD nằm giữa hai tia BA và BC Ta có đẳng thức: ABC = ABD + DBC DBC = ABC - ABD =550 – 300 = 250 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 c Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Tia Bz và tia BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BA nằm giữa hai tiaBz và BD Tính được ABz = 900 - ABD = 900- 300 = 600 - Trường hợp 2:Tia Bz và tia BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BD nằm giữa hai tia Bz và BA Tính được ABz = 900 + ABD = 900 + 300 = 1200 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 7: (1,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm (2x+ 1); (y - 5) là các ước của 12 0,25 Ư(12) = 0,25 Vì 2x + 1 là lẻ nên: 2x + 1= 1 x=0 , y =17 2x + 1= 3 x=1 , y=9 Vậy với x = 0 thì y = 17; Với x = 1 thì y = 9 0,25 0,25 PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TIỀN HẢI ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 -2017 m¤N: TOÁN 6 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (4,0 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức: 2) Tìm số tự nhiên x, biết: Bài 2: (4,0 điểm) 1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) = 1 2) Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 2p + 1 cũng là số nguyên tố thì 4p + 1 là hợp số? Bài 3: (4,0 điểm) 1) Chứng minh rằng số viết bởi 27 chữ số giống nhau thì chia hết cho 27. 2) Tìm số tự nhiên n có 4 chữ số biết rằng n là số chính phương và n là bội của 147. Bài 4: (6,0 điểm) 1) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA vẽ các tia OB, OC sao cho . Gọi OM là tia phân giác của . a) Tính . b) Vẽ tia ON là tia đối của tia OM. Chứng minh rằng OA là tia phân giác của . 2) Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox1, Ox2, Ox3,..., Oxn sao cho: ; ; ; ...; . Tìm số n nhỏ nhất để trong các tia đã vẽ có một tia là tia phân giác chung của 2017 góc. Bài 5: (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau đều tối giản. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TIỀN HẢI ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM Bài 1 (4,0 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức: . 2) Tìm số tự nhiên x, biết: . Câu Nội dung Điểm a) 2.0đ Ta có : = 0.5đ = 0.5đ Suy ra A = 0.5đ Rút gọn 0.5đ b) 2.0đ 0.5đ 0.5đ Suy ra: 0.5đ Giải ra x = 5 0.5đ Bài 2: (4,0 điểm) 1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) = 1 2) Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 2p + 1 cũng là số nguyên tố thì 4p + 1 là hợp số? Câu Nội dung Điểm a) 2.0đ Gọi d là ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) 0.5đ Suy ra: và và 0.5đ 0.5đ 0.5đ Vậy ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) = 1 b) 2.0đ + Vì p là số nguyên tố, p > 3 4p không chia hết cho 3 0.5đ Ta có 4p + 2 = 2 (2p + 1) Theo bài ra p > 3 2p + 1> 7 và là số nguyên tố 2p + 1 không chia hết cho 3. Suy ra 4p + 2 không chia hết cho 3 0.5đ Mà 4p; 4p + 1; 4p + 2 là ba số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại một số chia hết cho 3 do đó 4p + 1 chia hết cho 3. 0.5đ Vì 4p + 1 > 13 nên 4p + 1 là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước. Suy ra 4p + 1 là hợp số. 0.5đ Bài 3 (4,0 điểm) 1) Chứng minh rằng số viết được với 27 chữ số giống nhau thì chia hết cho 27. 2) Tìm số tự nhiên n có 4 chữ số biết rằng n là số chính phương và n là bội của 147. Câu Nội dung Điểm a) 2.0đ Trước hết ta chứng minh số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27 0.5đ Thật vậy: Mà và 0.5đ 0.5đ Từ đó suy ra nếu một số viết bởi 27 chữ số a thì số đó bằng a. nên số đó chia hết cho 27. 0.5đ b) 2.0đ Vì n là số tự nhiên có 4 chữ số nên 0.5đ Theo bài ra n là bội của 147 nên n = 147.k = 72.3k Do n là số chính phương nên khi phân tích ra thừa số nguyên tố thì lũy thừa các thừa số nguyên tố phải có số mũ chẵn suy ra 0.5đ Để n là số chính phương thì m là số chính phương 0.5đ Suy ra các số tự nhiên cần tìm là: 1764; 3969; 7056. 0.5đ Bài 4: (6,0 điểm) 1) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA vẽ các tia OB,OC sao cho . Gọi OM là tia phân giác của . a) Tính . b) Vẽ tia ON là tia đối của tia OM. Chứng minh rằng OA là tia phân giác của . 2) Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox1, Ox2, Ox3,..., Oxn sao cho: ; ; ; ...; . Tìm số n nhỏ nhất để trong các tia đã vẽ có một tia là tia phân giác chung của 2017 góc. Câu Nội dung Điểm Vẽ hình 0.5đ a) 2.0đ Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA có (800 < 1200) 0.5đ Tia OC nằm giữa hai tia OA và OB Vì OM là tia phân giác của 0.5đ Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OB có (200< 1200) nên tia OM nằm giữa hai tia OA và OB 0.5đ 0.5đ b) 2.5đ Vì OM và ON là hai tia đối nhau nên hai góc và là hai góc kề bù. 0.5đ 0.5đ Suy ra ( vì cùng bằng 800) (1) 0.5đ Vì hai tia OM và ON nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là tia OA nên tia OA nằm giữa hai tia OM và ON (2) 0.5đ Từ (1) và (2) suy ra tia OA là tia phân giác của 0.5đ c) 1.0đ Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox1, Ox2, Ox3,..., Oxn sao cho: ; ; ; ...; 0.5đ Vậy khi n nhỏ nhất là n = 2017.2 = 4034 thì lúc đó là tia phân giác chung của 2017 góc: 0.5đ Bài 5 (2,0 điểm):Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau đều là số tối giản. Câu Nội dung Điểm a) 2.0đ Các phân số đã cho đều có dạng: , vì các phân số này đều tối giản nên n + 2 và a phải là hai số nguyên tố cùng nhau. 0.5đ Như vậy n + 2 phải nguyên tố cùng nhau với lần lượt các số 7; 8; 9; ...; 100 và n + 2 phải là số nhỏ nhất. 0.5đ n + 2 là số nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn 100. 0.5đ n + 2 = 101 n = 99 0.5đ PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN NĂM HỌC 2013-2014 - Môn thi: TOÁN 6 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1. a. So sánh 22013 và 31344 b. Tính A = Câu 2. a. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng số đó khi chia cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư là 2, còn chia cho 7 thì dư 3. b. Tìm hai số tự nhiên biết tổng ƯCLL và BCNN của chúng bằng 23 c. Tìm số tự nhiên x; y biết chia hết cho 45 Câu 3. a. Tìm biết: 2 + 4 + 6 + … + 2x = 156 b. Tìm số nguyên n để P = là số nguyên c. Tìm số tự nhiên n để phân số M = đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. Câu 4. Cho đường thẳng xy. Trên xy lấy 3 điểm A; B; C sao cho AB = a cm; AC = b cm (b > a). Gọi I là trung điểm của AB. a,Tính IC ? b. Lấy 4 điểm M; N; P; Q nằm ngoài đường thẳng xy. Chứng tỏ rằng đường thẳng xy hoặc không cắt, hoặc cắt ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng trong các đoạn thẳng sau: MN, MP, MQ, NP, NQ, PQ. PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐÁP ÁN THI KSCL MŨI NHỌN NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN 6 Câu Ý Nội dung Điểm Câu 1 a 22013 = (23)671 = 8671 ; 31344= (32)672 = 9672 Ta có 8 < 9; 671 < 672 nên 8671< 9672 hay 22013 < 31344 0.5 0.5 b A = = = = 0.5 0.5 Câu 2 a Gọi số tự nhiên đó là a, ta có a = BC(3; 4; 5; 6) + 2. Mà BC( 3; 4; 5; 6) = 60; 120; 180; 240; … Nên a nhận các giá trị 62; 122; 182; 242 …. Mặt khác a là số nhỏ nhất chia cho 7 thì dư 3 nên a = 12 0,25 0,5 0.25 b Gọi hai số tự nhiên đó là a ; b ( a ; b N) Gọi d = ƯCNL(a ; b) ta có : a = a’.d ; b = b’.d (a’ ; b’) =1 Khi đó BCNN(a ; b) = = = a’.b’.d Theo bài ra ta có : ƯCLN(a ; b) + BCNN (a ; b) = 23 nên d + a’.b’.d = 23 = d (1 + a’.b’) = 23 Nên d = 1; 1 + a’b’ =23 suy ra a’b’ = 22 mà (a’ ; b’) = 1 nên a’ = 1 ; b’ = 22 hoặc a’ = 11; b’ = 2 và ngược lại. Từ đó HS tìm được a và b. 0.25 0,25 0.25 c vì chia hết cho 45 = 5 . 9 nên y = 0 hoặc y =5 *) Nếu y = 0 ta có chia hết cho 9 nên 3 + 2 + x + 1 chia hết cho 9 nên x = 3 *) Nếu y = 5 ta có chia hết cho 9 nên 3 + 2 + x + 1 + 5 chia hết cho 9 nên x = 7 Vậy số cần tìm là hoặc 0.5 0.25 0.25 Câu 3 a 2 + 4 + 6 + …+ 2x = 156 2( 1 + 2 + …+ x) = 156 2. =156 x( x + 1) =156 = 12.13 ( vì x và x + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp) nên x = 12 0.25 0.5 b P = = Để P Z thì n - 1 là ước của 1 nghĩa là n - 1 = 1 hoặc n - 1 = -1 nên n = 2 hoặc n = 0 0, 5 0,25 c M = = *) Nếu n 1 thì M < *) Nếu n > 1 thì M > . Khi đó để M đạt giá trị lớn nhất thì 2(2n – 3) đạt giá trị dương nhỏ nhất khi đó n = 2 . GTLN của M = khi n = 2 0.5 0.25 Câu 4 TH1. B ; C nằm cùng phía với nhau so với điểm A HS tính được IC = b - 0.75 TH2. B; C nằm khác phía so với điểm A. HS tính được IC = b + 0.75 b *) TH 1: Nếu cả 4 điểm cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy thì đường thẳng xy không cắt các đoạn thẳng: MN, MP, MQ, NP, NQ, PQ. *) TH 2: Nếu có 3 điểm (giả sử M ; N ; P) cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng còn 1 điểm Q nằm khác phía bờ là đường thẳng xy thì đường thẳng xy cắt 3 đoạn thẳng sau: MQ, NQ, PQ. *) TH 3: Nếu có 2 điểm ( giả sử M ; N ) cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng còn 2 điểm (P ; Q) nằm khác phía bờ là đường thẳng xy thì đường thẳng xy cắt 4 đoạn thẳng sau: MP; MQ, NP; NQ. 0.5 0.5 0,5 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6 HUYỆN HOẰNG HÓA NĂM HỌC 2014-2015 Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút Câu 1. (4 điểm)a) Thực hiện phép tính: b) Tìm x biết: 1) - 2) c. T×m hai sè tù nhiªn a vµ b biÕt tæng BCNN vµ ¦CLN cña chóng lµ 15 d. Tìm x nguyên thỏa mãn: Câu 2. (4 điểm) a. Thực hiện phép tính: b. Tìm các số nguyên n sao cho: n2 + 5n + 9 là bội của n + 3 c. Chứng minh rằng bình phương của một số nguyên tố khác 2 và 3 khi chia cho 12 đều dư 1 d. Tìm x, y nguyên sao cho: xy + 2x + y + 11 = 0 Câu 3. (4 điểm) a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1và chia cho 19 dư 11. b) Tìm 3 số có tổng bằng 210, biết rằng số thứ nhất bằng số thứ 2 và số thứ 2 bằng số thứ 3. c. Tìm số tự nhiên a, b, c, d nhỏ nhất sao cho: d. Tìm hai số biết tỉ số của chúng bằng 5 : 8 và tích của chúng bằng 360. Câu 4. (5 điểm)1. a) Cho đoạn thẳng AB dài 7cm. Trên tia AB lấy điểm I sao cho AI = 4 cm. Trên tia BA lấy điểm K sao cho BK = 2 cm. Hãy chứng tỏ rằng I nằm giữa A và K. Tính IK. b) Trên tia Ox cho 4 điểm A, B, C, D. biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm giữa C và D ; OA = 5cm; OD = 2 cm ; BC = 4 cm và độ dài AC gấp đôi độ dài BD. Tìm độ dài các đoạn BD; AC. 2. Trªn n÷a mÆt ph¼ng cho tr¬íc cã bê Ox vÏ hai tia Oy vµ Oz sao cho sè ®o xOy = 700 vµ sè ®o yOz = 300. a) X¸c ®Þnh sè ®o cña xOz b) Trªn tia Ox lÊy 2 ®iÓm A vµ B (§iÓm A kh«ng trïng víi ®iÓm O vµ ®é dµi OB lín h¬n ®é dµi OA). Gäi M lµ trung ®iÓm cña OA. H•y so s¸nh ®é dµi MB víi trung b×nh céng ®é dµi OB vµ AB. Câu 5. ( 3 điểm) a, Chứng minh rằng: 32 + 33+ 34 +……+ 3101 chia hết cho 120. b. Cho hai số a và b thỏa mãn: a – b = 2(a + b) = Chứng minh a = -3b ; Tính ; Tìm a và b c. Tìm x, y, z biết: ( x – y2 + z)2 + ( y – 2)2 + ( z +3)2 = 0 PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6 NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi : Toán Câu Phần Nội dung Điểm Câu 1 (4 điểm) a 2đ Ta có: . 1 0,5 0,5 b 2đ (x + 1) + ( x + 2 ) + . . . . . . . . + (x + 100) = 5750 => x + 1 + x + 2 + x + 3 + . . . . . . .. . .. . . . + x + 100 = 5750 => ( 1 + 2 + 3 + . . . + 100) + ( x + x + x . . . . . . . + x ) = 5750 101 . 50 + 100 x = 5750 100 x + 5050 = 5750 100 x = 5750 – 5050 100 x = 700 x = 7 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu 2 ( 4 điểm ) a 2đ Ta có: 0.5 0.5 1 b 2đ S =(3)0+(3)1 + (3)2+(3)3+...+ (3)2015. 3S = (3).[(3)0+(3)1+(3)2 + ....+(3)2015] = (3)1+ (3)2+ ....+(3)2016] 3S – S = [(3)1 + (3)2+...+(3)2016] - (3)0-(3)1-...-(3)2015. 2S = (3)2016 -1. S = 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 3 (4 điểm) a 2đ Gọi số cần tìm là a ta có: (a-6) 11 ;(a-1) 4; (a-11) 19. (a-6 +33) 11 ; (a-1 + 28) 4 ; (a-11 +38 ) 19. (a +27) 11 ; (a +27) 4 ; (a +27) 19. Do a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a+27 nhỏ nhất Suy ra: a +27 = BCNN (4 ;11 ; 19 ) . Từ đó tìm được : a = 809 0.5 0.5 0.5 0.5 b 2đ Số thứ nhất bằng: : = (số thứ hai) Số thứ ba bằng: : = (số thứ hai) Số thứ hai bằng: (số thứ hai) Tổng của 3 số bằng: (số thứ hai) = (số thứ hai) Số thứ hai là : 210 : = 66; số thứ nhất là: . 66 = 63; số thứ 3 là: .66 = 81 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu 4 (6 điểm ) a 4đ 1) Trên tia BA ta có BK = 2 cm. BA = 7cm nên BK< BA do đó điểm K nằm giữa A và B. Suy ra AK + KB = AB hay AK + 2 = 7 AK = 5 cm. Trên tia AB có điểm I và K mà AI < AK (và 4 <5) nên điểm I nằm giữa A và K 2,5 2) Do I nằm giữa A và K nên AI + IK = AK. Hay 4 + IK = 5 IK = 5 – 4 = 1. 1,5 b 2đ Vì A nằm giữa B và C nên BA +AC = BC BA +AC = 4 (1) Lập luân B nằm giữa A và D. Theo gt OD < OA Þ D nằm giữa O và A. Mà OD + DA = OA 2 + DA =5 DA =3 cm Ta có DB + BA = DA DB +BA = 3 (2) Lấy (1) – (2): AC – DB = 1 (3) Theo đề ra : AC = 2BD thay và (3) Ta có 2BD – BD = 1 Þ BD = 1 AC = 2BD Þ AC = 2 cm 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 5 ( 2 điểm ) Ta có 32 + 33+ 34+…… + 3101 = (32+ 33+ 34 + 35) + (36 + 37 + 38 + 39)+…+ (398 + 399 + 3100 + 3101) = 31(3+32+33+34) + 35(3+32+33+34) +…+397(3+32+33+34) = 31.120 + 35.120 +…+397.120 = 120(31 + 35 +…+397) 120 (đpcm) 0,5 0,5 0,5 0,5 PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN ANH SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6, 7, 8. CẤP THCS - HUYỆN ANH SƠN NĂM HỌC 2013-2014 Bài 1: (2,5 điểm) Thực hiện phép tính: a) - 32.56 - 32.25 - 32.19 b) c) Bài 2: (2,0 điểm) Tìm x, biết; a) 4 – 2(x + 1) = 2 b) Bài 3: (2,0 điểm) Cho phân số a) Tìm n để A là phân số. b) Tìm n để A là phân số tối giản. c) Tìm n để A có giá trị lớn nhất. Bài 4: (2,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB. Điểm C thuộc tia đối của tia BA. M là trung điểm của đoạn thẳng AB. a) Chứng tỏ rằng: b) Gọi O là một điểm nằm ngoài đoạn thẳng AB. Biết ; ; . Hỏi OB có phải là tia phân giác của không? Vì sao? Bài 5: (1.5 điểm) a) Có 68 người đi tham quan bằng hai loại xe: loại 12 chỗ ngồi và loại 7 chỗ ngồi. Biết số người đi vừa đủ với số ghế ngồi. Hỏi mỗi loại có mấy xe? b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có không chia hết cho 5. Đáp án và thang điểm chấm thi chọn HSG huyện toán 6 Năm học 2013 – 2014 Câu ý Nội dung cần đạt Điểm Câu 1 (2,5 đ) a - 32.56 - 32.25 - 32.19 = - 32(56 + 25 + 19) = - 32(56 + 25 + 19) = - 32( 100) = - 3200 1,0 b = = = 30 1,0 c = = = 0,5 Câu 2 (2,0 đ) a 4 – 2(x + 1) = 2 4 – 2x – 2 = 2 x = 0 1,0 b 1,0 Câu 3 (2,0 đ) a A là phân số khi 1,0 b Để A là phân số tối giản thì ƯCLN(n +1, n - 3) = 1 Hay ƯCLN((n – 3) + 4, n - 3) = 1 Vì (2 là ước nguyên tố) Nên để ƯCLN((n – 3) + 4, n - 3) = 1 thì n - 3 không chia hết cho 2 Suy ra (k là số nguyên) Hay n là số chẵn. 0,25 0,25 c Ta có: Với n > 3 thì > 0 Với n < 3 thì < 0 Để A có giá trị lớn nhất thì n – 3 nguyên dương và có giá trị nhỏ nhất. Hay n – 3 = 1 n = 4 0,25 0,25 Câu 4 (2,0 đ) a Do M là trung điểm của AB, và C là điểm thuộc tia đối của tia BA nên M nằm giữa A và C. Ta có: CA = MA + MC(1) Ta có B nằm giữa M và C Ta có CB = CM – MB(2) Từ (1) và (2) ta có: CA + CB = MA + MC + CM – MB CA + CB = 2CM(Do MA = MB) 0,25 0,25 0,25 0,25 b - Theo câu a điểm M nằm giữa A và C nên ta có: Ta thấy điểm B nằm giữa M và C và Nên OB là tia phân giác của . 0,5 0,5 Câu 5 (1,5 đ) a Gọi x là số xe 12 chỗ ngồi, y là số xe 7 chỗ ngồi ( x,y ) Theo bài ra ta có: 12.x + 7.y = 68 Vì 12.x 4; 68 4 nên 7.y 4 mà (7,4) = 1 Suy ra y 4. Hơn nữa x nên y 8 y = 4 hoặc y = 8 Với y = 4 ta thấy 12x + 7.4 = 68 không thỏa mãn. Với y = 8 thì x = 1 Thỏa mãn. Vậy có 1 xe loại 12 chỗ ngồi, 8 xe loại 1 chỗ ngồi. 0,25 0,25 0,25 0,25 b Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, Ta có = n(n +1) + 2 Do n(n+1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2. n(n+1) có tận cùng là 0, 2, 6 n(n+1) + 2 có tận cùng là 2,4,8 không chia hết cho 5. 0,25 0,25 PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI KĐCL MŨI NHỌN. NĂM HỌC: 2011 - 2012 Môn thi: TOÁN 6 Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1. a. Cho ; Tính tích: . b. Chứng tỏ rằng các số tự nhiên có dạng: chia hết cho ít nhất 3 số nguyên tố. Câu 2. Không tính giá trị của các biểu thức. Hãy so sánh: a. và ; b. 98 . 516 và 1920 Câu 3. a. Tìm biết: b. Tìm số nguyên để phân số có giá trị là số nguyên. c. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho: a chia cho 5 thì dư 3, a chia cho 7 thì dư 4. Câu 4. Cho góc bẹt xOy, trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 2 cm; trên tia Oy lấy hai điểm M và B sao cho OM = 1 cm; OB = 4 cm. a. Chứng tỏ: Điểm M nằm giữa hai điểm O và B; Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB. b. Từ O kẻ hai tia Ot và Oz sao cho . Tính số đo . PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG HD CHẤM ĐỀ KĐCL MŨI NHỌN Câu Ý Nội dung cần đạt Điểm 1 a ( ) = 0,5 0,5 0,5 2,5 b chia hết cho ít nhất ba số nguyên tố: 7; 11; 13 1,0 2 a 1,0 2,0 b 98 . 516 = 316.516 = 1516 <1916 < 1920 => 98 . 516 < 1920 98 . 516 = (32)8 . 516 = 316.516 = (3.5)16 = 1516 (1) Mµ : 1516 < 1520 (V× 16 < 20) (2) 1520 < 1920 (v× 15<19) (3) Tõ (1), (2), (3) => 9.8 516 < 1920 1,0 3 a i, ta có: x – 3 = 2x + 4 ó x = -7 ( Loại vì -7 < 3) ii, x < 3 ta có –x +3 = 2x +4 ó ( Thỏa mãn) Vậy 1,0 3,0 nguyên n – 5 là ước của 3 hay n = 0,5 0,5 Ta có: a = 5q + 3 a = 7p + 4 Xét a +17 = 5q + 20 = 7p + 21=> chia hết cho cả 5 và 7, hay là bội chung của 5 và 7. Vì a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a +17 = BCNN(5,7) = 35 => a = 18 0,5 0,5 4 a 2,5 a Trên tia Oy có OM < OB ( vì 1cm < 4cm) nên M nằm giữa O và B => MO + MB = OB => MB = OB – MO = 3cm (1) Vì Ox, Oy đối nhau, A thuộc Ox, M thuộc Oy nên O nằm giữa A và M AM = AO + OM = 3cm (2) Từ (1) và (2) => MB = MA = 3cm hay M là trng điểm cả AB 0,5 0,5 c HS vẽ hình được 2 trường hợp: (Ot và Oz cùng nằm trên nửa mp bờ xy; Ot và Oz không nằm trên nửa mp bờ xy) HS lập luận tính đúng: + Ot và Oz cùng nằm trên nửa mp bờ xy: + Ot và Oz không nằm trên nửa mp bờ xy: 0,5 0,5 0,5 Học sinh làm các cách khác đúng với yêu cầu đề ra vẫn chấm điểm tối đa
Ta có
C= 2+2^2+2^3+2^4+...+2^100
=> 2C= 2^2+2^3+2^4+2^5+...+2^101
=> 2C-C = 2^101-2
=> C= 2^101-2
Ta có C=2+2^2+2^3+...+2^100
=(2+2^2+2^3+2^4)+(2^5+2^6+2^7+2^8)+...+(2^97+2^98+2^99+2^100)
=2(1+2+2^2+2^3)+2^5(1+2+2^2+2^3)+...+2^97(1+2+2^2+2^3)
=2.15+2^5.15+...+2^97.15
=15(2+2^5+...+2^97) chia hết cho 15
=> Đpcm