Câu 1(4,5 điểm)
1. Thực hiện phép tính:
A=\(\frac{7}{19}\cdot\frac{8}{11}+\frac{7}{19}\cdot\frac{3}{11}+\frac{12}{19}\)
B=\(\frac{2^{30}\cdot5^7+2^{13}\cdot5^{27}}{2^{27}\cdot5^7+2^{10}\cdot5^{27}}\)
C=\(\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{1\cdot3}\right)\left(1+\frac{1}{2\cdot4}\right)\left(1+\frac{1}{3\cdot5}\right)...\left(1+\frac{1}{2015\cdot2017}\right)\)
2. Tìm x biết: \(\left(4+2^2+2^3+2^4+...+2^{20}\right)\cdot x=2^{22}-2^{21}\)
Câu 2 (4,0 điểm)
1. Cho phân số: \(\frac{1+2+3+...+9}{11+12+13+...+19}\)
(tử số là tổng các số tự nhiên từ 1 đến 9; mẫu số là tổng các số tự nhiên từ 11 đến 19)
a) Rút gọn phân số trên
b) Hãy xoá một số hạng ở tử số và một số hạng ở mẫu số để được một phân số mới có giá trị bằng phân số ban đầu.
2. So sánh: D=\(\frac{8^{10}+1}{8^{10}-1}\)và E= \(\frac{8^{10}-1}{8^{10}-3}\)
Câu 3 (4,5 điểm)
1. Cho F=\(\frac{n^2+1}{n^2-3}\).Tìm số nguyên n để F có giá trị là số nguyên.
2. Cho G=\(\frac{1}{100^2}+\frac{1}{101^2}+\frac{1}{102^2}+...+\frac{1}{198^2}+\frac{1}{199^2}\). Chứng minh rằng: \(\frac{1}{200}< G< \frac{1}{99}\)
3. Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 162 và ƯCLN của chúng là 18
Câu 4: (5,5 điểm) Cho hai góc AOx và góc BOx có chung cạnh Ox và hai góc này không kề nhau
1. Cho \(\widehat{AOx}=38^o\)và \(\widehat{BOx}=112^o\).
a) Trong ba tia OA,OB,Ox tia nào nằm giữa hai tia còn lại? Vì sao?
b) Tính \(\widehat{AOB}\).
c) Vẽ tia phân giác OM của \(\widehat{AOB}\). Tính \(\widehat{MOx}\)
2. Cho \(\widehat{AOx}=m\)và \(\widehat{BOx}=n\), trong đó \(0^o< m+n< 180^o\). Tìm điều kiện giữa \(m\)và \(n\)để tia OA nằm giữa hai tia OM và Ox. Khi đó hãy tính \(\widehat{MOx}\)theo \(m\)và \(n\).
Câu 5: (1,5 điểm) Cho bốn số nguyên dương \(a,b,c,d\)thoả mãn đẳng thức \(a^2+b^2=c^2+d^2\). Chứng minh rằng tổng \(a+b+c+d\)là một hợp số
Câu 1: Đặt
S=1 +2+..+n
S=n+(n-1)+..+2+1
=> 2S = n(n+1)
=> S=n(n+1)/2
=> aaa =n(n+1)/2
=> 2aaa =n(n+1)
Mặt khác aaa =a*111= a*3*37
=> n(n+1) =6a*37
Vế trái là tích 2 số tự nhiên liên tiếp
=> a*6 =36
=> a=6
(nêu a*6 =38 loại)
Vậy n=36, aaa=666