Question

[MR.PHONG]

Câu 1 : Cho tam giác MNP vuông tại M, đường phân giác ND (D thuộc MP), kẻ DH vuông góc với NP.

a) Chứng minh: tam giác MND = tam giác HND;

b) Chứng minh: MN=HN

c) Gọi K là giao điểm của đường thẳng MN và DH, I là trung điểm của KP.

Chứng minh: ba điểm N, D, I thẳng hàng.

Answer 1

[Kiều Vũ Linh]

  

a) Do ND là đường phân giác của ∆MNP (gt)

⇒ ∠MND = ∠PND

⇒ ∠MND = ∠HND

Xét hai tam giác vuông: ∆MND và ∆HND có:

ND là cạnh chung

∠MND = ∠HND (cmt)

⇒ ∆MND = ∆HND (cạnh huyền - góc nhọn)

b) Do ∆MND = ∆HND (cmt)

⇒ MN = HN (hai cạnh tương ứng)

c) Do ∆MND = ∆HND (cmt)

⇒ MD = HD (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông: ∆DMK và ∆DHP có:

MD = HD (cmt)

∠MDK = ∠HDP (đối đỉnh)

⇒ ∆DMK = ∆DHP (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

⇒ MK = HP (hai cạnh tương ứng)

Lại có: MN = HN (cmt)

⇒ MK + MN = HP + HN

⇒ KN = PN

⇒ ∆NPK cân tại N

Do ∆MNP vuông tại M (gt)

⇒ PM ⊥ MN

⇒ PM ⊥ NK

⇒ PM là đường cao của ∆NPK

Lại có:

DH ⊥ NP (gt)

⇒ KH ⊥ NP

⇒ KH là đường cao thứ hai của ∆NPK

⇒ ND là đường cao thứ ba của ∆NPK

Mà ∆NPK cân tại N (cmt)

⇒ ND cũng là đường trung tuyến của ∆NPK

⇒ ND đi qua trung điểm của PK

Mà I là trung điểm của PK

⇒ N, D, I thẳng hàng