Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Delta'=m^2-4\ge0\Rightarrow m\le-2\) (do m âm)
Khi đó theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m>0\\x_1x_2=4>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1>0\\x_2>0\end{matrix}\right.\)
\(\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^2+\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^2=3\Leftrightarrow\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^2+2\left(\frac{x_1}{x_2}\right)\left(\frac{x_2}{x_1}\right)+\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^2-2=3\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)^2=5\Leftrightarrow\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\sqrt{5}\) (do \(x_1;x_2>0\))
\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2=\sqrt{5}x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\sqrt{5}x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow4m^2-8=4\sqrt{5}\)
\(\Leftrightarrow m^2=2+\sqrt{5}\)
\(\Leftrightarrow m=-\sqrt{2+\sqrt{5}}\)
Để pt có 2 nghiệm
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-1\ne0\\\Delta'=\left(m+1\right)^2-m\left(m-1\right)\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\3m+1\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m\ge-\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
Khi đó theo định lý Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{2\left(m+1\right)}{m-1}\\x_1x_2=\frac{m}{m-1}\end{matrix}\right.\)
\(\left|x_1-x_2\right|\ge2\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2\ge4\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\ge4\)
\(\Leftrightarrow4\left(\frac{m+1}{m-1}\right)^2-\frac{4m}{m-1}\ge4\)
\(\Leftrightarrow\left(1+\frac{2}{m-1}\right)^2-\left(1+\frac{1}{m-1}\right)-1\ge0\)
Đặt \(\frac{1}{m-1}=t\)
\(\Rightarrow\left(2t+1\right)^2-\left(t+1\right)-1\ge0\)
\(\Leftrightarrow4t^2+3t-1\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t\ge\frac{1}{4}\\t\le-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\frac{1}{m-1}\ge\frac{1}{4}\\\frac{1}{m-1}\le-1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\frac{5-m}{m-1}\ge0\\\frac{m}{m-1}\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}1< m\le5\\0\le m< 1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m_{max}=5\)
Cho phương trình (m−1)x2 + 3x − 1=0
a , Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
Để pt có 2 nghiệm dương phân biệt thì
✱△ > 0
△ = 32 - 4.(-1).(m-1) = 4m + 5 > 0 ⇔ m > \(\frac{-5}{4}\)
✱ S > 0
\(\frac{-3}{m-1}\) > 0 ⇔ m -1 < 0 ⇔ m < 1
✱ P > 0
\(\frac{-1}{m-1}\) > 0 ⇔ m - 1 < 0 ⇔ m < 1
Vậy m ∈ (\(\frac{-5}{4}\); 1) thì phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt.
a)
ĐIều kiện (1)\(\Delta>0\Rightarrow\left(m+3\right)^2-4\left(m^2-1\right)\left(m^2+m\right)>0\)
ĐK(2) c/a <0 => (m^2+m)/(m^2-1) <0
Không cần giải đk (1) vì nếu (m) thủa mãn đk(2) tất nhiên thỏa mãn đk(1) do (x+3)^2 >=0
\(\dfrac{m^2+m}{m^2-1}=\dfrac{T}{M}\)
\(-1< m< 0\Rightarrow T< 0\)
\(-1< m< 1\Rightarrow M< 0\)
Để thủa mãn đk (2) cũng là giá trị m cần tìm là: \(\Rightarrow0< m< 1\)
b)
M thả mãn hệ \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m^3+m-2\right)^2-4\left(m^2+m-5\right)\left(1\right)\\\left(m^2+m-5\right)< 0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Tưng tự câu (a) Nếu (2) thủa mãn => ( 1) thỏa mãn
=> \(\left(2\right)\Rightarrow\dfrac{-1-\sqrt{21}}{2}< m< \dfrac{-1+\sqrt{21}}{2}\) cũng là giá trị m cần tìm
\(\Leftrightarrow2m.2^x+\left(2m+1\right)\left(3-\sqrt{5}\right)^x+\left(3+\sqrt{5}\right)^x=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^x+\left(2m+1\right)\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^x+2m< 0\)
Đặt \(t=\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^x,0< t\le1\Rightarrow\frac{1}{t}=\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^x\)
Phương trình trở thành :
\(t+\left(2m+1\right)\frac{1}{t}+2m=0\) (*)
a. Khi \(m=-\frac{1}{2}\) ta có \(t=1\) suy ra \(\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^x=1\Leftrightarrow x=0\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x=0\)
b. Phương trình (*) \(\Leftrightarrow t^2+1=-2m\left(t+1\right)\Leftrightarrow\frac{t^2+1}{t+1}=-2m\)
Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{t^2+1}{t+1};t\in\)(0;1]
Ta có : \(f'\left(t\right)=\frac{t^2+2t+1}{\left(t+1\right)^2}\Rightarrow f'\left(t\right)=0\Leftrightarrow=-1+\sqrt{2}\)
t f'(t) f(t) 0 1 0 - + 1 1 -1 + căn 2 2 căn 2 - 2
Suy ra phương trình đã cho có nghiệm đúng
\(\Leftrightarrow2\sqrt{2}-2\le-2m\le1\Leftrightarrow\sqrt{2}-1\ge m\ge-\frac{1}{2}\)
Vậy \(m\in\left[-\frac{1}{2};\sqrt{2}-1\right]\) là giá trị cần tìm