Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\forall n\in N;n\ne0\) Ta có : \(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{\left(n+1\right)-n-1}{n\left(n+1\right)}=\frac{0}{\left(n+1\right)n}=0\)
\(\Rightarrow\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{\left(n+1\right)^2}}=\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{\left(n+1\right)^2}+2\left[\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right]}\)
\(=\sqrt{\left(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)^2}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)
Áp dụng ta được :
\(A=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+.....+1+\frac{1}{1100}-\frac{1}{1101}\)
\(=1099+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{1100}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+....+\frac{1}{1101}\right)\)
\(=1099+\frac{1}{2}-\frac{1}{1101}=\frac{2421097}{2202}\)
Mk muốn làm giúp bạn lắm chứ nhưng mà khổ lỗi mk mới học lớp 6 . Xin lỗi bn
bài 2 gợi ý từ hdt (x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(z+x)
VT (ở đề bài) = a+b+c
<=>....<=>3[căn bậc 3(a)+căn bậc 3(b)].[căn bậc 3(b)+căn bậc 3(c)].[căn bậc 3(c)+căn bậc 3 (a)]=0
từ đây rút a=-b,b=-c,c=-a đến đây tự giải quyết đc r
\(\sqrt{4+2\sqrt{3}}\)
\(=\sqrt{3+2\sqrt{3}.1-1}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2+2\sqrt{3}.1-1}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}\)
\(=\left|\sqrt{3}+1\right|=\sqrt{3}+1\)
\(\sqrt{4+2\sqrt{3}}\)
=\(\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2+2\sqrt{3}.1+1^2}\)
=\(\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}\)
=\(\sqrt{3}+1\)
Để các biểu thức trên tồn tại thì:
a/ \(4-x^2\ge0\Rightarrow\left(2-x\right)\left(2+x\right)\ge0\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ge-2\\x\le2\end{cases}\Rightarrow-2\le x\le2}\)
b/ \(x^2-9\ge0\Rightarrow\left(x-3\right)\left(x+3\right)\ge0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x\le-3\\x\ge3\end{cases}}\)
c/ \(\hept{\begin{cases}x-5\ge0\\7-x\ge0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ge5\\x\le7\end{cases}\Rightarrow}5\le x\le7}\)
Bài 1: diendantoanhoc.net
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\) BĐT cần chứng minh trở thành
\(\frac{x}{\sqrt{3zx+2yz}}+\frac{x}{\sqrt{3xy+2xz}}+\frac{x}{\sqrt{3yz+2xy}}\ge\frac{3}{\sqrt{5}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}+\frac{y}{\sqrt{5x}\cdot\sqrt{3y+2z}}+\frac{z}{\sqrt{5y}\cdot\sqrt{3z+2x}}\ge\frac{3}{5}\)
Theo BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(_{cyc}\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}\ge2\)\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(\frac{x}{3x+2y+5z}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x\left(3x+2y+5z\right)+y\left(5x+3y+2z\right)+z\left(2x+5y+3z\right)}\)
\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+7\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(xy+yz+zx\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{5\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\right]}=\frac{3}{5}\)
Bổ sung bài 1:
BĐT được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c
Nếu đề bài cho vô hạn dấu căn thì ta làm như sau :
Nhận xét : A > 0
Ta có : \(A=\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{...}}}}}\)
\(\Rightarrow A^2=2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{.....}}}}=2A\)
\(\Rightarrow A^2-2A=0\Rightarrow A\left(A-2\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}A=0\left(\text{loại}\right)\\A=2\left(\text{nhận}\right)\end{array}\right.\)
Vậy A = 2
cám ơn bạn nhé