Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1/ Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2013}=a\\\sqrt{x-2014}=b\end{cases}}\)
Thì ta có:
\(\frac{\sqrt{x-2013}}{x+2}+\frac{\sqrt{x-2014}}{x}=\frac{a}{a^2+2015}+\frac{b}{b^2+2014}\)
\(\le\frac{a}{2a\sqrt{2015}}+\frac{b}{2b\sqrt{2014}}=\frac{1}{2\sqrt{2015}}+\frac{1}{2\sqrt{2014}}\)
2/ \(\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{x+2y+z}+\frac{z}{x+y+2z}\)
\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+x}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)\)
\(=\frac{3}{4}\)
\(\frac{x}{x^2-yz+2013}+\frac{y}{y^2-zx+2013}+\frac{z}{z^2-xy+2013}\)
\(=\frac{1}{\frac{x^2-yz+2013}{x}}+\frac{1}{\frac{y^2-zx+2013}{y}}+\frac{1}{\frac{z^2-xy+2013}{z}}\)
\(=\frac{1}{x+3y+3z+\frac{2yz}{x}}+\frac{1}{y+3z+3x+\frac{2xz}{y}}+\frac{1}{z+3x+3y+\frac{2xy}{z}}\)
\(\ge\frac{9}{7\left(x+y+z\right)+2xyz\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)}\ge\frac{9}{7\left(x+y+z\right)+2xyz\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)}=\)
\(=\frac{9}{7\left(x+y+z\right)+2xyz.\frac{1}{xyz}.\left(x+y+z\right)}=\frac{9}{9\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{x+y+z}\)
Ta có đpcm
bó tay rùi bạn !!!! ~_~
65756578687696453724756545345363637635754754695622534434
\(VT=\frac{x^2}{x^3-xyz-2013x}+\frac{y^2}{y^3-xyz-2013y}+\frac{z^2}{z^3-xyz-2013z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz-2013\left(x+y+z\right)}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3+3\left[\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-xyz\right]}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^3}=\frac{1}{x+y+z}\)=VP
đúng rồi ạ nhưng chỉ cần c/m đẳng thức phụ như thế này thôi ạ\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\) =>\(\frac{\left(a+b\right)2}{x+y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) hay \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) là xong
Ta có \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2}{xyz}\left(x+y+z\right)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{xyz}=4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\)(vì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>0\))
Mặt khác, ta có : \(\frac{1}{x+y+z}=2\) .
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{z\left(x+y+z\right)}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
=> x+y = 0 hoặc y + z = 0 hoặc z + x = 0
Từ đó suy ra P = 0 (lí do vì x,y,z là các số mũ lẻ)
Mình gợi ý để bạn được người khác giúp nhé. Khi đăng bài bạn nên đăng từng câu. Đừng đăng nhiều câu cùng lúc vì nhìn vô không ai muốn giải hết. Giờ bạn tách ra từng câu đăng lại đi. Sẽ có người giúp đấy
Bài 1: Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(1+x\ge2\sqrt{x}\)
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(y+1\ge2\sqrt{y}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(2\left(1+x+y\right)\ge2\left(\sqrt{x}+\sqrt{xy}+\sqrt{y}\right)\)
\(1+x+y\ge\sqrt{x}+\sqrt{xy}+\sqrt{y}\Leftrightarrow VT\ge VP\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}1+x=2\sqrt{x}\\x+y=2\sqrt{xy}\\y+1=2\sqrt{y}\end{cases}}\Rightarrow x=y=1\)
Khi đó \(S=x^{2013}+y^{2013}=1^{2013}+1^{2013}=2\)
Bài 2: Vì \(\hept{\begin{cases}x,y,z\in\left[-1;3\right]\\x+y+z=3\end{cases}}\) nên
\(0\le\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)+\left(3-x\right)\left(3-y\right)\left(3-z\right)\)
\(\Leftrightarrow0\le4\left(xy+yz+xz\right)-8\left(x+y+z\right)+28\)
\(\Leftrightarrow0\le2\left(xy+yz+xz\right)+2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)+2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le\left(x+y+z\right)^2+2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le3^2+2=9+2=11\)