Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) A = B : C = \(\left[\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\right).\frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right]\). \(\frac{\sqrt{x^3y}+\sqrt{xy^3}}{\sqrt{x^3}+y\sqrt{x}+x\sqrt{y}+\sqrt{y^3}}\)
A xác định <=> x > 0 và y > 0
\(B=\left[\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}.\frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right]=\frac{2}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2\)
\(C=\frac{\sqrt{x}.\left(x+y\right)+\sqrt{y}.\left(x+y\right)}{\sqrt{xy}.\left(x+y\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right).\left(x+y\right)}{\sqrt{xy}.\left(x+y\right)}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}=\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\)
=> A = B : C = \(\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2\) : \(\left(\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\) = \(\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\)
c) \(A=\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\ge2.\sqrt{\frac{1}{\sqrt{y}}.\frac{1}{\sqrt{x}}}=2.\sqrt{\frac{1}{\sqrt{6}}}\)
=> A nhỏ nhất bằng \(2.\sqrt{\frac{1}{\sqrt{6}}}\) khi \(\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{1}{\sqrt{x}}\) => x = y = \(\sqrt{6}\)
\(D=\frac{2}{\sqrt{xy}}:\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2-\frac{x+y}{x-2\sqrt{xy}+y}\left(ĐKXĐ:x\ge0,y\ge0,x\ne y\right)\)
\(\Leftrightarrow D=\frac{2}{\sqrt{xy}}:\left(\frac{\sqrt{y}-\sqrt{x}}{\sqrt{xy}}\right)^2-\frac{x+y}{\sqrt{x}}\)
\(\Leftrightarrow D=\frac{2}{\sqrt{xy}}.\frac{xy}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}-\frac{x+y}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow D=\frac{2\sqrt{xy}-x-y}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}=\frac{-\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}=-1\)
=> ko phụ thuộc x
Đề thiếu \(x;y\ge0\)
Ta có: \(A=\left(x+2\sqrt{x}+1\right)+\left(x+2\sqrt{xy}+y\right)+2\)
\(=\left(\sqrt{x}+1\right)^2+\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2+2\)
Lại có: \(\sqrt{x}\ge0\Rightarrow\sqrt{x}+1\ge1\Rightarrow\left(\sqrt{x}+1\right)^2\ge1\)
\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow A\ge3\)
Dấu = khi x=y=0
ta có A = \((x-2\sqrt{xy}+y)+(x-2\sqrt{x}+1)+2 \)
=\((\sqrt{x}-\sqrt{y})^2+(\sqrt{x}-1)^2+2\)
Mà \((\sqrt{x}-\sqrt{y})^2+(\sqrt{x}-1)^2\) > 0với mọi x,y thuộc IR
=>\((\sqrt{x}-\sqrt{y})^2+(\sqrt{x}-1)^2+2\) > 2
=> A> 2
Vậy Min Của A =2 <=> \(\sqrt{x}-\sqrt{y}=0\) và\(\sqrt{x}-1=0\)
=>x=y=1
3, y nhỏ nhất khi y^2 nhỏ nhất
y^2 = \(x+2\sqrt{x-1}+x-2\sqrt{x-1}+2\sqrt{\left(x-2\sqrt{x-1}\right)\left(x+2\sqrt{x-1}\right)}\)
= \(2x+2\sqrt{x^2-4x+4}=2x+2\sqrt{\left(x-2\right)^2}=2x+2!x-2!\)
(Đến đây thì chịu rồi)
A^2 = \(2+\frac{\sqrt{7}}{2}+2-\frac{\sqrt{7}}{2}-2\sqrt{\left(2+\frac{\sqrt{7}}{2}\right)\left(2-\frac{\sqrt{7}}{2}\right)}\)
A^2 = \(4\) \(-2\sqrt{4-\frac{7}{4}}=\) \(4-2\sqrt{\frac{9}{4}}=4-2\cdot\frac{3}{2}=4-3=1\)
=> A = 1
\(A=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{x}-1\right)^2+2\ge2\)
Min A = 2 khi x =y =1