Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{x+y+z}{2}\Leftrightarrow2\sqrt{x}+2\sqrt{y-1}+2\sqrt{z-2}=x+y+z\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\sqrt{x}+1\right)+\left(y-1-2\sqrt{y-1}+1\right)+\left(z-2-2\sqrt{z-2}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-2}-1\right)^2=0\)
Vì \(\left(\sqrt{x}-1\right)^2\ge0\) , \(\left(\sqrt{y-1}-1\right)^2\ge0\), \(\left(\sqrt{z-2}-1\right)^2\ge0\) nên phương trình trên tương đương với
\(\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x}-1\right)^2=0\\\left(\sqrt{y-1}-1\right)^2=0\\\left(\sqrt{z-2}-1\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}}\)
Từ đó tính được : \(x^2+y^2+z^2=1^2+2^2+3^2=14\)
Ta có:
\(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}\)
=\(\sqrt{x.1}+\sqrt{\left(y-1\right).1}+\sqrt{\left(z-2\right).1}\)
\(\le\frac{x+1}{2}+\frac{y-1+1}{2}+\frac{z-2+1}{2}\)
=\(\frac{x+y+z}{2}\)
Dấu"=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}\)
Ta có:x2+y2+z2=1+22+32=14
2/ Ta có
\(\frac{x+y}{4}+\frac{x^2}{x+y}\)\(\ge\)x
\(\frac{y+z}{4}+\frac{y^2}{y+z}\ge y\)
\(\frac{z+x}{4}+\frac{z^2}{z+x}\ge z\)
Từ đó ta có VT \(\ge\)\(\frac{x+y+z}{2}\)\(\ge\)\(\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{2}\)= \(\frac{1}{2}\)
Đạt được khi x = y = z = \(\frac{1}{3}\)
Áp dụng BĐT Mincopxki và AM - GM ta có :
\(P=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{9}{x+y+z}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{80}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(\ge\sqrt{\sqrt[2]{\left(x+y+z\right)^2.\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}+80}}\)
\(\ge\sqrt{2+80}=\sqrt{82}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Chúc bạn học tốt !!!
\(A=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\)
Áp dụng Bđt MIncopxki ta có:
\(A\ge\sqrt{\left(x+y+\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{80}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(\ge\sqrt{2+80}=\sqrt{82}\)
Dấu = khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
x;y;z là nghiệm của PT: \(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{x+y+z}{2}\left(1\right)\)=> đk: x >=0; y >= 1 ; z >= 2.
Ta có:
- \(\left(\sqrt{x}-1\right)^2\ge0\Rightarrow x-2\sqrt{x}+1\ge0\Rightarrow\sqrt{x}\le\frac{x+1}{2}\)(a)
- Tương tự: \(\sqrt{y-1}\le\frac{y-1+1}{2}=\frac{y}{2}\)(b)
- và: \(\sqrt{z-2}\le\frac{z-2+1}{2}=\frac{z-1}{2}\)(c)
- Do đó: \(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{x+1+y+z-1}{2}=\frac{x+y+z}{2}\)hay VT(1) <= VP(1) với mọi x;y;z.
Vậy để (1) thỏa mãn thì dấu "=" xảy ra hay các BĐT (a); (b); (c) xảy ra. Khi đó, x = 1; y = 2; z = 3.
Gọi \(\overrightarrow{1a}=\left(x;\frac{1}{x}\right);\overrightarrow{b}=\left(y;\frac{1}{y}\right);\overrightarrow{c}=\left(z;\frac{1}{z}\right)\)
Ta có:
\(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}=\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|+\left|\overrightarrow{c}\right|\)
\(\ge\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)\(\ge\sqrt{1^2+\frac{9^2}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(=\sqrt{1+81}=\sqrt{82}\)
Áp dụng BDT MInkopki
VT\(\ge\)\(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}=\sqrt{82}\)
BDT minkopki
\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}+\sqrt{e^2+f^2}\ge\sqrt{\left(a+c+e\right)^2+\left(b+d+f\right)^2}\)
\(M^2=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2xy}{\sqrt{yz}}+\frac{2yz}{\sqrt{zx}}+\frac{2xz}{\sqrt{yz}}=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\)
Áp dụng bđt Cô-si: \(\frac{x^2}{y}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+z\ge4\sqrt[4]{\frac{x^2}{y}.\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}.\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}.z}=4x\)
tương tự \(\frac{y^2}{z}+\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+x\ge4y\);\(\frac{z^2}{x}+\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+y\ge4z\)
=>\(M^2+x+y+z\ge4\left(x+y+z\right)\Rightarrow M^2\ge3\left(x+y+z\right)\ge3.12=36\Rightarrow M\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=4
Vậy minM=6 khi x=y=z=4
\(x^2+2x\sqrt{x+\frac{1}{x}}=8x-1\)(đk;x>0)
\(\Leftrightarrow x^2+2\sqrt{x}\cdot\sqrt{x^2+1}=8x-1\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)+2\sqrt{x}\cdot\sqrt{x^2+1}+x=9x\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x}\right)^2-9x=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x}+3\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x}-3\sqrt{x}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+1}+4\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x^2+1}-2\sqrt{x}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}-2\sqrt{x}=0\)(vì \(\sqrt{x^2+1}+4\sqrt{x}>0\))
\(\Leftrightarrow x^2-4x+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2+\sqrt{3}\right)\left(x-2-\sqrt{3}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2-\sqrt{3}\\x=2+\sqrt{3}\end{cases}}\)(thõa mãn điều kiện)
\(\sqrt{x-2009}-\sqrt{y-2008}-\sqrt{z-2}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)(đk:x>2009,y>2008,z>2)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2009}-1\right)^2+\left(\sqrt{x-2008}+1\right)^2+\left(\sqrt{z-2}+1\right)^2+4014=0\)(không thõa mãn)
Lý do có kết quả trên là vì chuyển 1\2 qua vế trái và tách theo hằng đẳng thức
Bài tiếp theo cũng làm tương tự