Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử các biểu thức đều xác định:
\(\frac{1+sin^2a}{1-sin^2a}=\frac{1+sin^2a}{cos^2a}=\frac{1}{cos^2a}+tan^2a=1+tan^2a+tan^2a=1+2tan^2a\)
\(tan^2a-sin^2a=sin^2a\left(\frac{1}{cos^2a}-1\right)=sin^2a\left(\frac{1-cos^2a}{cos^2a}\right)=sin^2a.\frac{sin^2a}{cos^2a}=tan^2a.sin^2a\)
\(\frac{cosa}{1+sina}+tana=\frac{cosa\left(1-sina\right)}{\left(1+sina\right)\left(1-sina\right)}+\frac{sina.cosa}{cos^2a}=\frac{cosa-sina.cosa}{1-sin^2a}+\frac{sina.cosa}{cos^2a}\)
\(=\frac{cosa-sina.cosa+sina.cosa}{cos^2a}=\frac{cosa}{cos^2a}=\frac{1}{cosa}\)
\(\frac{tanx}{sinx}-\frac{sinx}{cotx}=\frac{tanx}{sinx}-sinx.tanx=tanx\left(\frac{1}{sinx}-sinx\right)=\frac{sinx}{cosx}\left(\frac{1-sin^2x}{sinx}\right)=\frac{sinx.cos^2x}{cosx.sinx}=cosx\)
ta có : \(\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)=\left(1+\dfrac{b}{c}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{ab}{bc}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\)
\(=1+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{bc}{ac}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{ac}{ba}+\dfrac{ab}{bc}+1\)
\(=2+\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{ab}{bc}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{ac}{ba}\right)+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{bc}{ac}\right)\ge2+2+2+2=8\) \(\Rightarrowđpcm\)
\(cos\varphi=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{-1.2+3.1}{\sqrt{\left(-1\right)^2+3^2}.\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{1}{5\sqrt{2}}\)
Câu 1:
\(\Delta=m^2-4\left(m+3\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow m^2-4m-12\le0\Rightarrow-2\le m\le6\)
Câu 2:
Để BPT đã cho vô nghiệm tương đương \(mx^2-4\left(m+1\right)x+m-5\le0\) đúng với mọi x
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\\Delta'=4\left(m+1\right)^2-m\left(m-5\right)\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\3m^2+13m+4\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow-4\le m\le-\frac{1}{3}\)
Tất cả các đáp án đều sai
Câu 3:
Để pt có 2 nghiệm pb
\(\Leftrightarrow\Delta'=\left(m-2\right)^2+2\left(m-2\right)>0\)
\(\Leftrightarrow m^2-2m>0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< 0\\m>2\end{matrix}\right.\)
Tiếp tục tất cả các đáp án đều sai, đề bài gì kì vậy ta
điều kiện : x >-1/2
⇒ 2x + 1 >0 ⇒ \(\dfrac{4}{2x+1}\) >0
ap dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
f(x) ≥ \(2\sqrt{\left(2x+1\right).\dfrac{4}{2x+1}}\) = 4
⇒ Min f(x) = 4. Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi
2x + 1 = \(\dfrac{4}{2x+1}\) ⇒ (2x +1 )2 = 4 ⇒ x = \(\dfrac{1}{2}\)
VẬY ĐÁP ÁN LÀ C
Bài này rất dài dòng nhưng cũng rất quen.
https://diendantoanhoc.net/topic/153766-bổ-đề-hoán-vị/
bài này tui post lên cho mn xem và chia sẻ cách làm nhé bn còn cách nào hay thì sharre hết cho mk với ;v
Câu 1:
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(1+x^3+y^3\geq 3\sqrt[3]{x^3y^3}=3xy\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\geq \frac{\sqrt{3xy}}{xy}=\sqrt{\frac{3}{xy}}\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\geq \sqrt{\frac{3}{yz}}; \frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{xz}\geq \sqrt{\frac{3}{xz}}\)
Cộng theo vế các BĐT thu được:
\(\text{VT}\geq \sqrt{\frac{3}{xy}}+\sqrt{\frac{3}{yz}}+\sqrt{\frac{3}{xz}}\geq 3\sqrt[6]{\frac{27}{x^2y^2z^2}}=3\sqrt[6]{27}=3\sqrt{3}\) (Cauchy)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$
Câu 4:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}\right)(x+y)\geq (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2\)
\(\Leftrightarrow 1.(x+y)\geq (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2\Rightarrow x+y\geq 5+2\sqrt{6}\)
Vậy \(A_{\min}=5+2\sqrt{6}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=2+\sqrt{6}; y=3+\sqrt{6}\)
------------------------------
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{a^2+b^2}{4ab}\geq 2\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}.\frac{a^2+b^2}{4ab}}=1\)
\(a^2+b^2\geq 2ab\Rightarrow \frac{3(a^2+b^2)}{4ab}\geq \frac{6ab}{4ab}=\frac{3}{2}\)
Cộng theo vế hai BĐT trên:
\(\Rightarrow B\geq 1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\) hay \(B_{\min}=\frac{5}{2}\). Dấu bằng xảy ra khi $a=b$
Đặt:
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=t\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=bt\\c=dt\end{matrix}\right.\)
a) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{b^2t}{d^2t}=\dfrac{b^2}{d^2}\\\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\dfrac{b^2t^2+b^2}{d^2t^2+d^2}=\dfrac{b^2\left(t^2+1\right)}{d^2\left(t^2+1\right)}=\dfrac{b^2}{d^2}\end{matrix}\right.\Rightarrowđpcm\)
b)\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{ac}{bd}=\dfrac{t^2bd}{bd}=t^2\\\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\dfrac{b^2t^2+d^2t^2}{b^2+d^2}=\dfrac{t^2\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}\end{matrix}\right.\Rightarrowđpcm\)
