Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a+b+c=0
<=>(a+b+c)^2=0
<=>a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=0
Mà a^2+b^2+c^2>=0 với mọi a,b,c
=>ab+bc+ca<=0 với mọi a,b,c.
Dấu "="xảy ra<=>a=b=c=0.
Từ a+b+c=0 =>c=-a-b.thay vào có:
ab+bc+ca= ab-(a+b)^2= -(a^2+ab+b^2)= -1/2[(a+b)^2+a^2+b^2)]
vì (a+b)^2>=0, a^2>=0,b^2>=0 nên biểu thức này luôn luôn =<0. Dấu = xảy ra khi a=b=c=0.
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c>0\left(1\right)\\ab+bc+ac>0\left(2\right)\\abc>0\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Giả sử trong ba số a,b,c có một số âm hay bằng o . Giả sử số đó là a.
Khi đó : (1) ==> b + c > -a \(\ge\) 0 ==> a(b+c) \(\le0\)
Do đó : (2) ==> bc + a(b+c) > 0 ==> bc > -a ( b+c) \(\ge\) 0 . Mà a < 0 ==> abc < 0 (vô lí vì abc >0 do (3))
Vậy cả ba số a , b ,c đều dương
ta áp dụng cô-si la ra
a^2+b^2+c^2 ≥ ab+ac+bc
̣̣(a - b)^2 ≥ 0 => a^2 + b^2 ≥ 2ab (1)
(b - c)^2 ≥ 0 => b^2 + c^2 ≥ 2bc (2)
(a - c)^2 ≥ 0 => a^2 + c^2 ≥ 2ac (3)
cộng (1) (2) (3) theo vế:
2(a^2 + b^2 + c^2) ≥ 2(ab+ac+bc)
=> a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab+ac+bc
dấu = khi : a = b = c
Ta có: \(a+b+c=0\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=0\)
\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)+2.\left(ab+ac+bc\right)=0\)
Do \(a^2+b^2+c^2\ge0\) với mọi x \(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)+2.\left(ab+ac+bc\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2.\left(ab+ac+bc\right)\le0\Rightarrow ab+ac+bc\le0\)
Vậy nếu a,b,c là 3 số thực thỏa mãn a+b+c=0 thì \(ab+ac+bc\le0\)
Ta luôn luôn có:
(a+b+c)2\(\ge\)3(ab+bc+ac)\(\ge\)ab+bc+ac (vì \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\))(*)
Từ (*) suy ra: 0 > ab+bc+ac (đpcm)
Ta chứng minh: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
Thực vậy, BĐT tương đương:
\(a^3+b^3-a^2b-ab^2\ge0\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng với a; b dương)
Vậy BĐT được chứng minh
Tương tự ta có: \(b^3+c^3\ge bc\left(b+c\right)\); \(c^3+a^3\ge ca\left(c+a\right)\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)}\ge\frac{a^3+b^3+c^3}{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
\(a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca=-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}\)
Mà \(-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}\le0\Rightarrow ab+bc+ca\le0\) ;\(\forall a;b;c\) (đpcm)