Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải
Gọi tọa độ và thiết lập hệ trục:
Để chứng minh nhanh và chặt chẽ, đặt hệ trục sao cho \(A C\) trùng trục hoành.
Gọi \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\), \(C \left(\right. c , 0 \left.\right)\) với \(c \neq 0\). Gọi \(B \left(\right. b_{x} , b_{y} \left.\right)\) với \(b_{y} \neq 0\).
Từ giả thiết:
- Đường qua \(A\) vuông góc với \(A C\) là trục tung nên đường \(a\) có phương trình \(x = 0\).
- Đường qua \(B\) song song với \(A C\) là đường ngang \(y = b_{y}\).
Do đó \(M\), giao của hai đường này, có toạ độ \(M \left(\right. 0 , b_{y} \left.\right)\).
Trung điểm \(I\) của \(A B\) có toạ độ
\(I \left(\right. \frac{b_{x}}{2} , \frac{b_{y}}{2} \left.\right) .\)
Phương trình đường \(M I\). Hệ số góc
\(m_{M I} = \frac{\frac{b_{y}}{2} - b_{y}}{\frac{b_{x}}{2} - 0} = \frac{- \frac{b_{y}}{2}}{\frac{b_{x}}{2}} = - \frac{b_{y}}{b_{x}} .\)
Do đó phương trình \(M I\) là
\(y = b_{y} - \frac{b_{y}}{b_{x}} x .\)
Giao \(N\) của \(M I\) với \(A C\) (với \(A C : \textrm{ }\textrm{ } y = 0\)) thỏa
\(0 = b_{y} - \frac{b_{y}}{b_{x}} x \Rightarrow x = b_{x} .\)
Vậy \(N \left(\right. b_{x} , 0 \left.\right)\).
Đường \(B N\) là đường thẳng đi qua \(B \left(\right. b_{x} , b_{y} \left.\right)\) và \(N \left(\right. b_{x} , 0 \left.\right)\), tức phương trình \(x = b_{x}\) (đường thẳng đứng).
Đường cao \(A H\) đi qua \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\) và vuông góc với \(B C\). Hệ số góc của \(B C\) là
\(m_{B C} = \frac{b_{y} - 0}{b_{x} - c} = \frac{b_{y}}{b_{x} - c} ,\)
vậy hệ số góc của \(A H\) là \(- \frac{1}{m_{B C}} = - \frac{b_{x} - c}{b_{y}}\). Do \(A H\) đi qua \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\), phương trình là
\(y = - \frac{b_{x} - c}{b_{y}} \textrm{ } x .\)
Giao \(O\) của \(B N\) ( \(x = b_{x}\) ) với \(A H\) có toạ độ
\(O \left(\right. b_{x} , \textrm{ }\textrm{ } y_{O} \left.\right) , y_{O} = - \frac{b_{x} - c}{b_{y}} \cdot b_{x} = - \frac{b_{x} \left(\right. b_{x} - c \left.\right)}{b_{y}} .\)
a) \(A M B N\) là hình gì? (chứng minh)
Ta có \(B M \parallel A C\) (vì đường qua \(B\) đã cho song song \(A C\)), và \(N\) nằm trên \(A C\), nên \(B M \parallel A N\).
Mặt khác \(A M\) vuông góc với \(A C\) (vì đường \(a\) qua \(A\) vuông góc với \(A C\)), nên \(A M \bot A N\). Từ đó \(A M \bot B M\).
Vì một cặp cạnh đối (AN và BM) song song nên \(A M B N\) là hình thang. Do có \(A M \bot A N\) (tức một góc vuông), nên \(A M B N\) là hình thang vuông.
b) Chứng minh \(C O \bot A B\)
Tính vector:
\(\overset{\rightarrow}{C O} = \left(\right. b_{x} - c , \textrm{ }\textrm{ } y_{O} \left.\right) = \left(\right. b_{x} - c , \textrm{ }\textrm{ } - \frac{b_{x} \left(\right. b_{x} - c \left.\right)}{b_{y}} \left.\right) , \overset{\rightarrow}{A B} = \left(\right. b_{x} , \textrm{ }\textrm{ } b_{y} \left.\right) .\)
Tích vô hướng của hai vector này là
\(\overset{\rightarrow}{C O} \cdot \overset{\rightarrow}{A B} = \left(\right. b_{x} - c \left.\right) \cdot b_{x} + \left(\right. - \frac{b_{x} \left(\right. b_{x} - c \left.\right)}{b_{y}} \left.\right) \cdot b_{y} = b_{x} \left(\right. b_{x} - c \left.\right) - b_{x} \left(\right. b_{x} - c \left.\right) = 0.\)
Tích vô hướng bằng \(0\) nên \(\overset{\rightarrow}{C O} \bot \overset{\rightarrow}{A B}\). Do đó \(C O \bot A B\).
Kết luận:
a) Tứ giác \(A M B N\) là hình thang vuông.
b) \(C O\) vuông góc với \(A B\).
ask chatjpt
a: Xét tứ giác AHCN có
M là trung điểm của AC
M là trung điểm của HN
Do đó: AHCN là hình bình hành
mà \(\widehat{AHC}=90^0\)
nên AHCN là hình chữ nhật
Suy ra: AC=HN
b: Xét ΔABC có
H là trung điểm của BC
O là trung điểm của AB
Do đó;HO là đường trung bình
=>HO//AC và HO=AC/2
=>HO=AM và HO//AM
=>AOHM là hình bình hành
mà AO=AM
nên AOHM là hình thoi
2b
do ABCDlà hbh
=> AD=BC
AB//CD=>NB//CD
AD//BC => AD//CK
vì NB//CD
=>\(\dfrac{DM}{MK}=\dfrac{AD}{CK}\) (theo hệ quả ta-lét)
mà AD=BC
=> \(\dfrac{DM}{MK}=\dfrac{BC}{CK}\) (*)
vì AD//CK
=> \(\dfrac{DN}{DK}=\dfrac{BC}{CK}\) (theo đl ta-lét) (**)
Từ (*) và (**) ta có
\(\dfrac{DN}{DK}=\dfrac{DM}{MK}\) =>\(\dfrac{MK}{DK}=\dfrac{DM}{DN}\)
ta có
\(\dfrac{DM}{DN}+\dfrac{DM}{DK}=\dfrac{MK}{DK}+\dfrac{DM}{DK}=\dfrac{DK}{DK}=1\) (đpcm)
1: Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHCA vuông tại H có
\(\widehat{HAB}=\widehat{HCA}\left(=90^0-\widehat{HBA}\right)\)
Do đó: ΔHAB~ΔHCA
2:
a: Xét ΔBAM có DI//AM
nên \(\dfrac{DI}{AM}=\dfrac{BI}{BM}\left(1\right)\)
Xét ΔBCM có HI//CM
nên \(\dfrac{HI}{CM}=\dfrac{BI}{BM}\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(\dfrac{DI}{AM}=\dfrac{HI}{CM}\)
mà AM=CM(M là trung điểm của AC)
nên DI=HI
=>I là trung điểm của DH
Để giải bài này, chúng ta sẽ làm từng câu một. Dưới đây là cách giải chi tiết cho từng câu trong bài toán.
---
### 1. **Chứng minh △HAB đồng dạng △HCA**
**Điều kiện để hai tam giác đồng dạng** là phải có 2 góc tương ứng bằng nhau hoặc cạnh góc một tam giác tương ứng với cạnh góc tam giác kia.
- Trong tam giác vuông **△ABC** tại **A**, ta có **AH** là đường cao (tức là **AH ⊥ BC**).
- Xét các góc trong các tam giác **HAB** và **HCA**:
- **∠HAB = ∠HCA** (góc chung tại điểm **H**).
- **∠AHB = ∠AHC = 90°** (vì AH là đường cao trong tam giác vuông tại **A**).
Vậy, theo định lý đồng dạng (góc – góc), ta có:
\[
△HAB \sim △HCA
\]
Do đó, ta chứng minh được **△HAB đồng dạng △HCA**.
---
### 2. **Câu a) I là TĐ của DH**
Ta biết từ bài toán rằng **I** là giao điểm của **BM** và đường thẳng **DH** (với **D** là điểm cắt của đường thẳng // với **AC** cắt **AB** tại **D**).
Vì **DH // AC**, ta có thể sử dụng định lý "tỉ số đồng dạng" từ phần chứng minh đồng dạng ở trên. Dựa vào tính chất của hai tam giác đồng dạng **△HAB** và **△HCA**, ta có:
\[
\frac{BI}{BM} = \frac{DI}{DH}
\]
Điều này chứng tỏ rằng **I** là trung điểm của **DH**, vì tỉ số trên là tỷ lệ đồng dạng giữa hai tam giác.
Vậy, **I** là trung điểm của **DH**, chứng minh được **I là TĐ của DH**.
---
### 3. **Câu b) Chứng minh DI = KC = DK = MC**
- Gọi **K** là giao điểm của **AH** và **CD**.
- Xét các tam giác trong hình:
- **△DKC** và **△MCI** có các cạnh tương ứng đồng dạng, vì cả hai tam giác này đều có góc vuông tại các điểm **D** và **C** và cạnh **DK** tương ứng với **MC**, đồng thời **KC** đối xứng qua **I**.
- Do đó, ta có **DI = DK = KC = MC** từ các tỉ lệ đồng dạng và tính chất đối xứng của các đoạn thẳng trong hình học.
Vậy, ta chứng minh được **DI = KC = DK = MC**.
---
### 4. **Câu c) Chứng minh ba điểm B, K, M thẳng hàng**
Ta có các yếu tố như sau:
- **B**, **K**, **M** nằm trong các tam giác vuông và có các tính chất đồng dạng đã chứng minh ở các câu trước.
- Do sự đối xứng của các đoạn thẳng, và vì **I** là trung điểm của **DH**, ta có thể kết luận rằng ba điểm **B**, **K**, và **M** thẳng hàng theo định lý "Ba điểm thẳng hàng qua một điểm đối xứng".
Vậy, ba điểm **B**, **K**, **M** thẳng hàng.
---
Đó là phần giải chi tiết cho bài toán của bạn! Nếu có gì chưa rõ, bạn có thể hỏi thêm nhé.