Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử tồn tại các số tự nhiên x,y,z thỏa mãn đề bài.
Ta có tính chất sau: với các số nguyên a,b,c bất kì, thì hai tổng a+b+c và |a|+|b|+|c| luôn có cùng tính chẵn lẻ.
Do đó, \(\left|x-3y\right|+\left|y-5z\right|+\left|z-7x\right|\) luôn có cùng tính chẵn lẻ với \(x-3y+y-5z+z-7x\)
Mà \(x-3y+y-5z+z-7x=-6x-2y-4z=2.\left(-3x-y-2z\right)\) luôn chẵn với mọi số tự nhiên x,y,z
=>\(\) \(\left|x-3y\right|+\left|y-5z\right|+\left|z-7x\right|\) luôn chẵn
Theo giả thiết:
\(\left|x-3y\right|+\left|y-5z\right|+\left|z-7x\right|=9^{x}+11^{y}+13^{z}\)
Do vế trái chẵn theo chứng minh trên, ta suy ra \(9^{x}+11^{y}+13^{z}\) cũng là số chẵn (1).
Mà 9, 11, 13 là các số tự nhiên lẻ, nên \(9^{x};11^{y};13^{z}\) cũng là các số tự nhiên lẻ
=>\(9^{x}+11^{y}+13^{z}\) có kết quả là 1 số lẻ (mâu thuẫn với (1))
Vậy điều giả sử là sai, hay ko tồn tại các số tự nhiên x,y,z thỏa mãn yêu cầu
Đề bài:
Tồn tại hay không các số tự nhiên \(x , y , z\) sao cho
\(\mid x - 3 y \mid + \mid y - 5 z \mid + \mid z - 7 x \mid = 9^{x} + 11^{y} + 13^{z}\)
Phân tích:
- \(x , y , z \in \mathbb{N}\) (số tự nhiên, tức là \(0 , 1 , 2 , 3 , \ldots\)).
- Vế trái là tổng các giá trị tuyệt đối, mỗi giá trị tuyệt đối có giá trị không âm và tương đối nhỏ nếu \(x , y , z\) nhỏ.
- Vế phải là tổng các số mũ với cơ số lớn (9, 11, 13) và lũy thừa theo \(x , y , z\), sẽ tăng rất nhanh khi \(x , y , z\)tăng.
Bước 1: So sánh quy mô 2 vế
- Vế trái:
\(\mid x - 3 y \mid + \mid y - 5 z \mid + \mid z - 7 x \mid \leq \mid x \mid + 3 \mid y \mid + \mid y \mid + 5 \mid z \mid + \mid z \mid + 7 \mid x \mid = 8 \mid x \mid + 4 \mid y \mid + 6 \mid z \mid\)
Tức là vế trái lớn nhất cũng chỉ là một số bậc nhất theo \(x , y , z\).
- Vế phải:
\(9^{x} + 11^{y} + 13^{z}\)
Là hàm số mũ tăng cực nhanh khi \(x , y , z\) tăng.
Bước 2: Kiểm tra trường hợp nhỏ
Thử với \(x = y = z = 0\):
\(\mid 0 - 0 \mid + \mid 0 - 0 \mid + \mid 0 - 0 \mid = 0\)\(9^{0} + 11^{0} + 13^{0} = 1 + 1 + 1 = 3\)
Không thỏa.
Thử \(x = y = z = 1\):
\(\mid 1 - 3 \mid + \mid 1 - 5 \mid + \mid 1 - 7 \mid = 2 + 4 + 6 = 12\)\(9^{1} + 11^{1} + 13^{1} = 9 + 11 + 13 = 33\)
Không thỏa.
Thử \(x = y = z = 2\):
Vế trái:
\(\mid 2 - 6 \mid + \mid 2 - 10 \mid + \mid 2 - 14 \mid = 4 + 8 + 12 = 24\)
Vế phải:
\(9^{2} + 11^{2} + 13^{2} = 81 + 121 + 169 = 371\)
Không thỏa.
Bước 3: Nhận xét
- Vế phải tăng nhanh hơn vế trái rất nhiều.
- Vì vế trái là hàm tuyến tính (hoặc độ lớn nhất bậc 1), còn vế phải là hàm mũ, nên với \(x , y , z\) lớn, vế phải rất lớn và vế trái rất nhỏ so với vế phải.
Bước 4: Trường hợp vế phải nhỏ nhất
Để vế phải nhỏ nhất, cần \(x = y = z = 0\) (hoặc giá trị nhỏ nhất). Với các giá trị nhỏ đã thử thì không thỏa.
Kết luận:
Không tồn tại các số tự nhiên \(x , y , z\) để
\(\mid x - 3 y \mid + \mid y - 5 z \mid + \mid z - 7 x \mid = 9^{x} + 11^{y} + 13^{z}\)
Dùng phương pháp chặn :
x \(\le\) y \(\le\) z \(\Rightarrow\) x2 \(\le\) y2 \(\le\) z2 \(\Rightarrow\) x2 + y2 + z2 \(\le\) 3z2
\(\Rightarrow\) 3z2 \(\ge\) 34 \(\Leftrightarrow\) z2 \(\ge\) 34/3 (1)
x2 + y2 + z2 = 34 mà x,y,z \(\in\) N \(\Rightarrow\) z2 \(\le\) 34 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có :
34/3 \(\le\) z2 \(\le\) 34
\(\Rightarrow\) z2 \(\in\) { 16; 25}
vì z \(\in\) N\(\Rightarrow\) z \(\in\) { 4; 5}
th1 Z = 4 ta có :
x2 + y2 + 16 = 34
x2 + y2 = 12
x \(\le\) y \(\Rightarrow\) x2 \(\le\)y2 \(\Rightarrow\) x2 + y2 \(\le\) 2y2 \(\Rightarrow\) 12 \(\le\)2y2 \(\Rightarrow\) y2 \(\ge\) 6 (*)
x2 + y2 = 12 \(\Rightarrow\) y2 \(\le\) 12 (**)
Kết hợp (*) và (**) ta có :
6 \(\le\) y2 \(\le\) 12 \(\Rightarrow\) y2 = 9 vì y \(\in\) N\(\Rightarrow\) y = 3
với y = 3 ta có : x2 + 32 = 12 \(\Rightarrow\) x2 = 12-9 = 3 \(\Rightarrow\) x = +- \(\sqrt{3}\)(loại vì x \(\in\) N)
th2 : z = 5 ta có :
x2 + y2 + 25 = 34
\(\Rightarrow\) x2 + y2 = 34 - 25 = 9
x \(\le\) y \(\Rightarrow\) x2 \(\le\) y2 \(\Rightarrow\) x2 + y2 \(\le\)2y2 \(\Rightarrow\) 2y2 \(\ge\) 9 \(\Rightarrow\) y2 \(\ge\) 9/2 (a)
x2 + y2 = 9 \(\Rightarrow\) y2 \(\le\) 9 (b)
Kết hợp (a) và (b) ta có :
9/2 \(\le\) y2 \(\le\) 9 \(\Rightarrow\) y2 = 9 vì y \(\in\) N \(\Rightarrow\) y = 3
với y = 3 \(\Rightarrow\) x2 + 32 = 9 \(\Rightarrow\) x2 = 0 \(\Rightarrow\) x = 0
kết luận (x; y; z) =( 0; 3; 5) là nghiệm duy nhất thỏa mãn pt
Giả sử tồn tại ..
Ta có (-1)^x+199y luôn = 1 hoặc -1 là số lẻ => 6+ (-1)^x+199y lẻ mà 2006 chẵn => (x+199y)(x-199y) chẵn => x+199y hoặc x-199y chia hết cho 2(1)
Lại có x+199y+x-199y=2x chẵn kết hợp (1) => x+199y và x-199y đều chia hết cho 2 => (-1) ^ x+199y =1 => 6+ (-1) ^ x+199y =7
mà 2006 không chia hết cho 7 =>2006 o chia hết 6+ (-1) ^ x+199y (vô lý)
Vậy giả sử sai nên o tồn tại
Ta thấy (x2,y2,z2)\(⋮\)2 nên xảy ra 2 trường hợp
- Trong 3 số x,y,z có 1 số chẵn,hai số lẻ,chẳng hạn x chẵn,y và z lẻ. Khi đó VT chia 4 dư 2,còn vế phải 2xyz chia hết cho 4 (loại)
- Ba số x,y,z đều chẵn. Đặt x=2x1,y=2y1,z=2z1 rồi chứng minh rằng nghiệm x1,y1,z1 cũng là số chẵn ( phương pháp lùi vô hạn)
mà xyz khác 0 nên không tồn tại x,y,z thỏa mãn đề bài
Câu hỏi của An Thi Yen Nhi - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
\(\left|x-5\right|=\left|5-x\right|\Rightarrow x-5\le0\Rightarrow x\le5\)
Vậy có 6 số thỏa mãn đề bài là: \(x\in\left\{0;1;2;3;4;5\right\}\)
|x-5|=5-x
=>x-5=5-x hoặc x-5=-5-x
=>x+x=5+5 hoặc x+x=-5+5
=>x=5 hoặc x=0
k cho mình nha
Không tồn tại
giải thích đi