Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2c}{abc}+\frac{ab^2}{abc}+\frac{bc^2}{abc}=\frac{b^2c}{abc}+\frac{a^2b}{abc}+\frac{ac^2}{abc}\)
\(\Leftrightarrow a^2c+ab^2+bc^2-b^2c-a^2b-ac^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2c-b^2c\right)+\left(ab^2-a^2b\right)+\left(bc^2-ac^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow c\left(a+b\right)\left(a-b\right)-ab\left(a-b\right)-c^2\left(a-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(bc+ac-ab-c^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=0\)
Từ đây ta có đpcm.
\(\Leftrightarrow a^2b-a^2c+b^2c-b^2a+c^2a-c^2b=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b-b^2a\right)-\left(a^2c-b^2c\right)+\left(c^2a-c^2b\right)\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)-c\left(a^2-b^2\right)+c^2\left(a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)-c\left(a+b\right)\left(a-b\right)+c^2\left(a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left[ab-c\left(a+b\right)+c^2\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(ab-ac-bc+c^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left[a\left(b-c\right)-c\left(b-c\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow.....\)
\(abc\ne0\)
\(abc\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)=abc\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2c+ab^2+bc^2=b^2c+ac^2+a^2b\)
\(\Leftrightarrow a^2c-b^2c+ab^2-a^2b+bc^2-ac^2=0\)
\(\Leftrightarrow c\left(a-b\right)\left(a+b\right)-ab\left(a-b\right)-c^2\left(a-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(ac+bc-ab-c^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(c\left(a-c\right)-b\left(a-c\right)\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(a-c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\a=c\\b=c\end{matrix}\right.\) (đpcm)
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\)
\(\frac{a^2c}{abc}+\frac{b^2a}{abc}+\frac{c^2a}{abc}=\frac{b^2c}{abc}+\frac{c^2a}{abc}+\frac{a^2b}{abc}\)
\(=>a^2c+b^2a+c^2a=b^2c+c^2a+a^2b\)
Vì \(c^2a=c^2a\)=> \(a^2c+b^2a=b^2c+a^2b\)
=>đpcm, hình như mình giải thiếu điều kiện thì phải
Ta biến đổi : a2 ( b - c ) + b2 ( c - a ) + c2 ( a - b ) = 0 thành ( a - b ) ( b - c ) ( a - c ) = 0
Ta suy ra : a = b hoặc b = c hoặc c = a
Vậy 3 số a,b,c tồn tại 2 số bằng nhau
à quên, cách biến đổi như vậy bạn tham khảo ở đây : Câu hỏi của Tên của bạn - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
a/b+b/c+c/a=b/a+c/b+a/c
<=> a/b-b/a+b/c-c/b+c/a-a/c=0
<=> a^2c-c^2a+c^2b-b^2c+b^2a-a^2b=0
<=> ac(a-c)+bc(c-b)+ab(b-a)=0
<=> ac(a-c)+bc(c-a+a-b)+ab(b-a)=0
<=> ac(a-c)+bc(c-a)+bc(a-b)+ab(b-a)=0
<=> (a-c)(a-b)c+(a-b)(c-a)b=0
<=> (a-b)(c-a)(b-c)=0
<=> a=b hay c=a hay b=c
Vậy trong ba số a,b,c tồn tại 2 số =nhau
Ko mat tinh tong quat: \(a\ge b\ge c\)
\(a^2\left(a-b\right)+b^2\left(a-c\right)+c^2\left(a-b\right)=0\)
\(VT\ge a^2\left(b-b\right)+b^2\left(c-c\right)+c^2\left(a-b\right)\)
\(VT\ge0+0+c^2\left(a-b\right)\)
\(c^2\left(a-b\right)\ge0\) (a>=b)
\(VT\ge0\).Dấu bằng khi ít nhất 2 số bằng nhau (a=b hoặc a=c)
TUong tu voi cac cach gs khac
\(a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=\dfrac{ab+bc+ca}{abc}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ca=0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ca+abc-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-ac\right)+\left(b-bc\right)+\left(-ab+abc\right)+\left(c-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow-a\left(c-1\right)-b\left(c-1\right)+ab\left(c-1\right)+\left(c-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(-a-b+ab+1\right)\left(c-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[b\left(a-1\right)-\left(a-1\right)\right]\left(c-1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(b-1\right)\left(a-1\right)\left(c-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}a-1=0\\b-1=0\\c-1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}a=1\\b=1\\c=1\end{matrix}\right.\)(đpcm)
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\Leftrightarrow a^2c+b^2a+c^2b=b^2c+c^2a+a^2b\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(c-b\right)+a\left(b^2-c^2\right)+bc\left(c-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(c-b\right)-a\left(c-b\right)\left(c+b\right)+bc\left(c-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a^2-ac-ab+bc\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a\left(a-c\right)-b\left(a-c\right)\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)=0\)
=> a =b hoặc b =c hoặc a =c ( dpcm)