Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi M là trung điểm BC ; N là điểm đối xứng với H qua M.
M là trung điểm của BC và HN nên BNCH là hình bình hành
\(\Rightarrow NC//BH\)
Mà \(BH\perp AC\Rightarrow NC\perp AC\)hay AN là đường kính của đường tròn ( O )
Dễ thấy OM là đường trung bình \(\Delta AHN\) suy ra \(OM=\frac{1}{2}AH\)
M là trung điểm BC nên OM \(\perp\)BC
Xét \(\Delta AHG\)và \(\Delta OGM\)có :
\(\widehat{HAG}=\widehat{GMO}\); \(\frac{GM}{GA}=\frac{OM}{HA}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\Delta AGH~\Delta MOG\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{AGH}=\widehat{MGO}\)hay H,G,O thẳng hàng
gọi E,F,T lần lượt là trung điểm của AB,CD,BD
Đường thẳng ME cắt NF tại S
Vì AC = BD \(\Rightarrow EQFP\)là hình thoi \(\Rightarrow EF\perp PQ\)( 1 )
Xét \(\Delta TPQ\)và \(\Delta SEF\)có : \(ME\perp AB,TP//AB\)
Tương tự , \(NF\perp CD;\)\(TQ//CD\)
\(\Rightarrow\Delta TPQ~\Delta SEF\)( Góc có cạnh tương ứng vuông góc )
\(\Rightarrow\frac{SE}{SF}=\frac{TP}{TQ}=\frac{AB}{CD}\)
Mặt khác : \(\Delta MAB~\Delta NCD\Rightarrow\frac{AB}{CD}=\frac{ME}{NF}\)( tỉ số đường cao = tỉ số đồng dạng )
Suy ra : \(\frac{ME}{NF}=\frac{SE}{SF}\)\(\Rightarrow EF//MN\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(MN\perp PQ\)
Xét tứ giác BHCD có
MH=MD; MB=MC => BHCD là hình bình hành (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành)
=> BD//CH
mà \(CH\perp AB\) (H là trực tâm => CH là đường cao của tg ABC)
\(\Rightarrow BD\perp AB\Rightarrow\widehat{ABD}=90^o\)
b/ Ta có BHCD là hình bình hành => CD//BH
H là trực tâm của tg ABC => BH là đường cao của tg ABC \(\Rightarrow BH\perp AC\)
\(\Rightarrow CD\perp AC\Rightarrow\widehat{ACD}=90^o\) => C thuộc đường tròn đường kính AD tâm O
Ta có \(\widehat{ABD}=90^o\left(cmt\right)\) => B thuộc đường tròn đường kính AD tâm O
=> A; B;C cùng nằm trên đường tròn đường kính AD tâm O nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tg ABC
c/
Xet tg AHD có
OA=OD; MH=MD => OM là đường trung bình của tg AHD \(\Rightarrow\frac{OM}{AH}=\frac{1}{2}\)
=> OM//AH
Xét tg AHG và tg MOG có
\(\widehat{HAG}=\widehat{OMG}\) (góc so le trong)
\(\widehat{AGH}=\widehat{MGO}\) (Góc đối đỉnh)
=> tg AHG đồng dạng với tg MOG \(\Rightarrow\frac{MG}{GA}=\frac{OM}{AH}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{MG}{AM}=\frac{1}{3}\)
Mà O thuộc trung tuyến AM của tg ABC
=> O là trọng tâm của tg ABC