Thử sức đề mình soạn cho các bạn có mục tiêu thi HSG toán 9 ( học kỳ I ) thôi nhé :D
Câu 1:
a) Tính giá trị biểu thức \(E=\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{9}}-\sqrt[3]{\frac{2}{9}}+\sqrt[3]{\frac{4}{9}}}{\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}}\)
b) Cho x,y thỏa mãn \(x\ne\pm y\) Đặt \(\frac{x+y}{x-y}+\frac{x-y}{x+y}=a\)
Tính giá trị của biểu thức \(M=\frac{x^4+y^4}{x^4-y^4}+\frac{x^4-y^4}{x^4+y^4}\)
Câu 2:
a) Giải phương trình: \(\frac{\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+3}}{x+5+\sqrt{2\left(x^2+1\right)}}=\left(1-x\right)\sqrt{1-x}+\frac{3-3\sqrt{x}}{2}\)
b) Giải hệ phương trình: \(\hept{\begin{cases}14x^2-21y^2-6x+45y-14=0\\35x^2+28y^2+41x-122y+56=0\end{cases}}\)
Câu 3:
a) Cho \(x_0;x_1;x_2;.......\) được xác định bởi: \(x_n=\left[\frac{n+1}{\sqrt{2}}\right]-\left[\frac{n}{\sqrt{2}}\right]\).
Hỏi trong 2006 số đầu tiên của dãy có mấy số khác 0
b) Giải phương trình nghiệm nguyên: \(m^n=n^{m-n}\)
c) Cho phương trình \(x^2-4x+1=0\). Gọi \(x_1;x_2\) là 2 nghiệm của phương trình. Đặt \(a_n=\frac{x_1^n+x_2^n}{2\sqrt{3}}\) với n là số nguyên dương. Chứng minh rằng \(a_n\) là một số nguyên với mọi n
d) Cho bộ số nguyên dương thỏa mãn \(a^2+b^2=c^2\). Chứng minh rằng không thể tồn tại số nguyên dương n sao cho:
\(\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)^2=n\)
Câu 4:
a) Cho các số dương a,b,c. Chứng minh rằng:
\(\frac{a\left(b+c\right)}{a^2+bc}+\frac{b\left(c+a\right)}{b^2+ca}+\frac{c\left(a+b\right)}{c^2+ab}\ge1+\frac{16abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
b) Cho các số không âm a,b,c thỏa mãn \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)>0\)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(A=\sqrt{\frac{b^2-bc+c^2}{a^2+bc}}+\sqrt{\frac{c^2-ca+a^2}{b^2+ca}}+\sqrt{\frac{a^2-ab+b^2}{c^2+ab}}+\frac{2\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+b^2+c^2}\)
Câu 5:
1)
Cho tam giác ABC có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H, EF cắt BC tại P. Qua D kẻ đường thẳng song song EF cắt AB, AC lần lượt tại Q, R.
a) Chứng minh rằng \(\frac{PB}{PC}=\frac{DB}{DC}\)
b) Gọi X là trung điểm AH. EF cắt AH tại Y. Chứng minh rằng Y là trực tâm tam giác XBC.
2)
Cho E và F lần lượt là các trung điểm của cạnh AD và CD của hình bình hành ABCD sao cho \(\widehat{AEB}=\widehat{AFB}=90^0\), và G là điểm nằm trên BF sao cho EG // AB. Gọi DH, AF lần lượt cắt cạnh BC, BE tại I, H. Chứng minh rằng \(FI\perp FH\)
Câu 6:
Tìm giá trị nhỏ nhất của a là cạnh hình vuông sao cho có thể đặt 5 tấm bìa hình tròn bán kính 1 trong hình vuông đó mà các tấm bìa không chờm lên nhau.
GOODLUCK.
WARNING: COMMENT LUNG TUNG SẼ BỊ CÔ QUẢN LÝ CHO "PAY ẶC" nhé !
Thời gian làm bài ( 180 phút ).
Bài 1:
\(\left\{{}\begin{matrix}xy+2=2x+y\left(1\right)\\2xy+y^2+3y=6\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Rightarrow xy-y+2-2x=0\)
\(\Rightarrow y\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-2\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)
Với \(x=1\). Thay vào (2) ta được:
\(2y+y^2+3y=6\)
\(\Leftrightarrow y^2+5y-6=0\)
\(\Leftrightarrow y^2+y-6y-6=0\)
\(\Leftrightarrow y\left(y+1\right)-6\left(y+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y+1\right)\left(y-6\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-1\\y=6\end{matrix}\right.\)
Với \(y=2\). Thay vào (2) ta được:
\(2x.2+2^2+3.2=6\)
\(\Leftrightarrow4x+4+6=6\)
\(\Leftrightarrow x=-1\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x,y) \(\in\left\{\left(1;-1\right),\left(1;6\right),\left(-1;2\right)\right\}\)
Bài 2:
\(f\left(x\right)=x^4+6x^3+11x^2+6x\)
\(=x\left(x^3+6x^2+11x+6\right)\)
\(=x\left(x^3+x^2+5x^2+5x+6x+6\right)\)
\(=x\left[x^2\left(x+1\right)+5x\left(x+1\right)+6\left(x+1\right)\right]\)
\(=x\left(x+1\right)\left(x^2+5x+6\right)\)
\(=x\left(x+1\right)\left(x^2+3x+2x+6\right)\)
\(=x\left(x+1\right)\left[x\left(x+3\right)+2\left(x+3\right)\right]\)
\(=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\)
b) Ta có: \(f\left(x\right)+1=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)+1\)
\(=x\left(x+3\right).\left(x+1\right)\left(x+2\right)+1\)
\(=\left(x^2+3x\right).\left(x^2+3x+2\right)+1\)
\(=\left(x^2+3x\right)^2+2\left(x^2+3x\right)+1\)
\(=\left(x^2+3x+1\right)^2\)
Vì x là số nguyên nên \(f\left(x\right)+1\) là số chính phương.