\(^2\)+y\(^2\)+z<...">
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

7 tháng 12 2017

1) Đặt T là vế trái của BĐT

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và AM-GM, ta có:

\(T=\dfrac{x^4}{xy}+\dfrac{y^4}{yz}+\dfrac{z^4}{xz}\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+yz+xz}\ge\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}=1\)

Vậy ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

7 tháng 12 2017

3)b) Đặt T là vế trái, áp dụng AM-GM ta có:

\(b+c=\left(b+c\right)\left(a+b+c\right)^2\ge\left(b+c\right)4a\left(b+c\right)=4a\left(b+c\right)^2\ge16abc\)

8 tháng 8 2017

1.Ta có :\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)

\(=x^2-xy+y^2\) (do x+y=1)

\(=\dfrac{3}{4}\left(x-y\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\ge\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\)\(=\dfrac{1}{4}.1=\dfrac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi :\(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(x^3+y^3\ge\dfrac{1}{4}\)

8 tháng 8 2017

2.

a) Sửa đề: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3-a^2b\right)+\left(b^3-ab^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng vì \(a,b\ge0\))

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

b) Lần trước mk giải rồi nhá

3.

a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel\(P=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(x+y+z\right)+3}=\dfrac{9}{3+3}=\dfrac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{1}{z+1}\\x+y+z=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1\)

b) \(Q=\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1}+\dfrac{z}{z^2+1}\le\dfrac{x}{2\sqrt{x^2.1}}+\dfrac{y}{2\sqrt{y^2.1}}+\dfrac{z}{2\sqrt{z^2.1}}\)

\(=\dfrac{x}{2x}+\dfrac{y}{2y}+\dfrac{z}{2z}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x^2=y^2=z^2=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Tìm GTNN của: a. \(A=x-\sqrt{x}\) b. \(B=x-\sqrt{x-2005}\) c. \(C=\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2-6x+9}\) d. \(D=\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}\) e. \(E=\left|x-2\right|+\left|2x-3\right|+\left|4x-1\right|+\left|5x-10\right|\) f. \(F=\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}\) g. \(G=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-2x+5}\) h. \(H=\sqrt{x^2-8x+17}+\sqrt{x^2+16}\) i. \(I=\sqrt{-x^2+4x+12}-\sqrt{-x^2+2x+3}\) k. \(K=x+y\) biết x và y là các số dương thỏa mãn...
Đọc tiếp

Tìm GTNN của:

a. \(A=x-\sqrt{x}\)

b. \(B=x-\sqrt{x-2005}\)

c. \(C=\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2-6x+9}\)

d. \(D=\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}\)

e. \(E=\left|x-2\right|+\left|2x-3\right|+\left|4x-1\right|+\left|5x-10\right|\)

f. \(F=\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}\)

g. \(G=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-2x+5}\)

h. \(H=\sqrt{x^2-8x+17}+\sqrt{x^2+16}\)

i. \(I=\sqrt{-x^2+4x+12}-\sqrt{-x^2+2x+3}\)

k. \(K=x+y\) biết x và y là các số dương thỏa mãn \(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}=1\)(a và b là các hằng số dương )

l. \(L=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\) với các số dương x,y,z và \(xyz\left(x+y+z\right)=1\)

m. \(M=x^4+y^4+z^4\) biết rằng \(xy+yz+zx=1\)

n. \(N=a^3+b^3+c^3\) biết a,b,c lớn hơn -1 và \(a^2+b^2+c^2=12\)

o. \(O=\dfrac{x}{2}+\dfrac{2}{x-1}\) với x>1

p. \(P=\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\) với x,y,z là các số dương và \(x+y+z=1\)

q. \(Q=\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\) với x,y,z là các số dương và \(x^2+y^2+z^2=1\)

r. \(R=\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\) với a,b,c là các số dương và \(a+b+c=6\)

s. \(S=\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+a}\) với a,b,c là các số dương và \(a+b+c=1\)

t. \(T=\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+d}+\dfrac{d^2}{d+a}\) với a,b,c,d là các số dương và \(a+b+c+d=1\)

u. \(U=\dfrac{x^2+y^2}{x-y}\) với x>y>0 và xy=1

v. \(V=\dfrac{5-3x}{\sqrt{1-x^2}}\)

w. \(W=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) với x>0, y>0 và \(x^2+y^2=1\)

x. \(X=\left(1+x\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)+\left(1+y\right)\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\) với x>0, y>0 và \(x^2+y^2=1\)

y. \(Y=\dfrac{2}{2-x}+\dfrac{1}{x}\) với 0<x<2

z. \(Z=3^x+3^y\) với x+y=4

0
5 tháng 12 2018

giải tạm 1 bài z -,-

2) Cauchy-Schwarz dạng Engel :

\(A=\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{6}{2}=3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=2\)

Chúc bạn học tốt ~

8 tháng 9 2019

4/ Ta có: \(6=a+b+c+ab+bc+ca\ge3\left(\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}+\sqrt[3]{abc}\right)\)

Đặt \(\sqrt[3]{abc}=t\Rightarrow t^2+t\le2\Rightarrow t\le1\Rightarrow t^3=C=abc\le1\)

Vậy...

5/ \(D\le\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3.\left[\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\right]^3=\frac{512}{729}\)

Vậy ...

P/s: Em không chắc

AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 1 2019

Bài 1:

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số thực dương ta có:

\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{x^2}{4}}=x\)

\(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{y^2}{4}}=y\)

\(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\geq 2\sqrt{\frac{z^2}{4}}=z\)

Cộng theo vế:

\(\Rightarrow M+\frac{y+z}{4}+\frac{x+z}{4}+\frac{x+y}{4}\geq x+y+z\)

\(\Leftrightarrow M\geq \frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)

Vậy GTNN của $M$ là $1$. Đẳng thức xảy ra tại $x=y=z=\frac{2}{3}$

AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 1 2019

Bài 2:

\(\text{VT}=(a+1)-\frac{b^2(a+1)}{b^2+1}+(b+1)-\frac{c^2(b+1)}{c^2+1}+(c+1)-\frac{a^2(c+1)}{a^2+1}\)

\(=(a+b+c+3)-\left(\frac{b^2(a+1)}{b^2+1}+\frac{c^2(b+1)}{c^2+1}+\frac{a^2(c+1)}{a^2+1}\right)\)

\(=6-M(*)\)

Xét \(M=\frac{b^2(a+1)}{b^2+1}+\frac{c^2(b+1)}{c^2+1}+\frac{a^2(c+1)}{a^2+1}\). Áp dụng BĐT AM-GM:

\(M\leq \frac{b^2(a+1)}{2b}+\frac{c^2(b+1)}{2c}+\frac{a^2(c+1)}{2a}=\frac{ab+bc+ac+a+b+c}{2}=\frac{ab+bc+ac+3}{2}\)

\(\leq \frac{\frac{(a+b+c)^2}{3}+3}{2}=3(**)\)

Từ \((*); (**)\Rightarrow \text{VT}=6-M\geq 6-3=3\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

5 tháng 12 2018

Câu 3. Dự đoán dấu "=" khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Dùng phương pháp chọn điểm rơi thôi :)

                             LG

Áp dụng bđt Cô-si được \(a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)

                                  \(\Rightarrow1\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)

                                  \(\Rightarrow\frac{1}{3}\ge\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)

                                 \(\Rightarrow\frac{1}{27}\ge a^2b^2c^2\)

                                 \(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{27}}\ge abc\)

Khi đó :\(B=a+b+c+\frac{1}{abc}\)

   \(=a+b+c+\frac{1}{9abc}+\frac{8}{9abc}\)

\(\ge4\sqrt[4]{abc.\frac{1}{9abc}}+\frac{8}{9.\frac{1}{\sqrt{27}}}\)

 \(=4\sqrt[4]{\frac{1}{9}}+\frac{8\sqrt{27}}{9}=\frac{4}{\sqrt[4]{9}}+\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}+\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Vậy .........

4 tháng 12 2018

2, \(A=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\)

\(A=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\)

\(A=\left[\frac{a^2}{b+c}+\frac{\left(b+c\right)}{4}\right]+\left[\frac{b^2}{a+c}+\frac{\left(a+c\right)}{4}\right]+\left[\frac{c^2}{a+b}+\frac{\left(a+b\right)}{4}\right]-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(A\ge2.\sqrt{\frac{a^2}{4}}+2.\sqrt{\frac{b^2}{4}}+2.\sqrt{\frac{c^2}{4}}-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}\)

\(A\ge a+b+c-\frac{6}{2}\)

\(A\ge6-3\)

\(A\ge3\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2}{b+c}=\frac{b+c}{4}\Leftrightarrow4a^2=\left(b+c\right)^2\Leftrightarrow2a=b+c\)(1)

                                 \(\frac{b^2}{a+c}=\frac{a+c}{4}\Leftrightarrow4b^2=\left(a+c\right)^2\Leftrightarrow2b=a+c\)(2)

                                 \(\frac{c^2}{a+b}=\frac{a+b}{4}\Leftrightarrow4c^2=\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow2c=a+b\)(3)

Lấy \(\left(1\right)-\left(3\right)\)ta có:

\(2a-2c=c+b-a-b=c-a\)

\(\Rightarrow2a-2c-c+a=0\)

\(\Leftrightarrow3.\left(a-c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a-c=0\Leftrightarrow a=c\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}b=c\\a=b\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a=b=c=2\)

Vậy \(A_{min}=3\Leftrightarrow a=b=c=2\)

1 tháng 10 2017

bài 2

\(\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{a+c}{b}=>a=b=c\)

=>x=2 => A=(4-2+1)^2016 =3^2016

5 tháng 7 2018

\(1.\) Gỉa sử : \(\sqrt{25-16}< \sqrt{25}-\sqrt{16}\)

\(\Leftrightarrow3< 1\) ( Vô lý )

\(\Rightarrow\sqrt{25-16}>\sqrt{25}-\sqrt{16}\)

\(2.\sqrt{a}-\sqrt{b}< \sqrt{a-b}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2< a-b\)

\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b< a-b\)

\(\Leftrightarrow2b-2\sqrt{ab}< 0\)

\(\Leftrightarrow2\left(b-\sqrt{ab}\right)< 0\)

Ta có :\(a>b\Leftrightarrow ab>b^2\Leftrightarrow\sqrt{ab}>b\)

\(\RightarrowĐpcm.\)

\(2a.\) Áp dụng BĐT Cauchy , ta có :

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\left(a;b\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

\(b.\) Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương , ta có :

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{2}{\sqrt{xy}}\left(x,y>0\right)\left(1\right)\)

\(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{2}{\sqrt{yz}}\left(y,z>0\right)\left(2\right)\)

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{2}{\sqrt{xz}}\left(x,z>0\right)\left(3\right)\)

Cộng từng vế của ( 1 ; 2 ; 3 ) , ta được :

\(2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\)

5 tháng 7 2018

\(3a.\sqrt{x-4}=a\left(a\in R\right)\left(x\ge4;a\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow x-4=a^2\)

\(\Leftrightarrow x=a^2+4\left(TM\right)\)

\(3b.\sqrt{x+4}=x+2\left(x\ge-2\right)\)

\(\Leftrightarrow x+4=x^2+4x+4\)

\(\Leftrightarrow x^2+3x=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(TM\right)\\x=-3\left(KTM\right)\end{matrix}\right.\)

KL....

giải giúp mk vs mk sắp thi rùi!!! 1. a. Cho P=\(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+3}+\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\dfrac{3\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+3\sqrt{z}+3}\) và xyz =9. Tính \(\sqrt{10P-1}\) b. Cho x,y,z >0 thỏa mãn: x+y+z + \(\sqrt{xyz}\) =4 . Tính B= \(\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}+\sqrt{y\left(4-z\right)\left(4-x\right)}+\sqrt{z\left(4-x\left(4-y\right)\right)}\) 2. a. giải phương trình \(\dfrac{x^2}{\left(x+2\right)^2}+3=3x^2-6x\) b....
Đọc tiếp

giải giúp mk vs mk sắp thi rùi!!!

1. a. Cho P=\(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+3}+\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\dfrac{3\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+3\sqrt{z}+3}\) và xyz =9. Tính \(\sqrt{10P-1}\)

b. Cho x,y,z >0 thỏa mãn: x+y+z + \(\sqrt{xyz}\) =4 . Tính B= \(\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}+\sqrt{y\left(4-z\right)\left(4-x\right)}+\sqrt{z\left(4-x\left(4-y\right)\right)}\)

2. a. giải phương trình \(\dfrac{x^2}{\left(x+2\right)^2}+3=3x^2-6x\)

b. \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+xy+1=2x\\x\left(x+y\right)^2+x-2=2y^2\end{matrix}\right.\)

3. a.Tìm tất cae các nghiệm nguyên của phương trình \(x^2+x+2y^2+y=2xy^2+xy+3\)

b. CMR: \(a^3_1+a^3_2+a^3_3+....+a^3_n\) chia hết cho 3 biết \(a_1,a_2,a_3,...,a_n\) là các chữ số của \(2019^{2018}\)

4. Cho tam giác MNP có 3 góc M, N, P nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Gọi Q là trung điểm của NP và các đường cao MD, NE, PF của tam giác MNP cắt nhau tại H.

a. MH =2OQ B. Nếu MN+MP = 2NP thì sin N+ sin P = 2sinM c. ME.FH +MF .HE = \(R^2\sqrt{2}\) biết NP = \(R\sqrt{2}\) 5. Cho a,b,c dương thỏa mãn \(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=3\) . Tìm GTNN của P= \(\dfrac{ab^2}{a+b}+\dfrac{bc^2}{b+c}+\dfrac{ca^2}{c+a}\)
0
9 tháng 2 2018

\(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}=0\Leftrightarrow\dfrac{ayz}{xyz}+\dfrac{bxz}{xyz}+\dfrac{cxy}{xyz}=0\Leftrightarrow ayz+bxz+cxy=0\) (1)

\(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}\right)^2=1\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}+2\left(\dfrac{xy}{ab}+\dfrac{yz}{bc}+\dfrac{xz}{ac}\right)=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}+2\left(\dfrac{cxy+ayz+bxz}{abc}\right)=1\)

Kết hợp với (1) ta có đpcm