Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)
\(a^2+b^2+c^2+d^2+m^2-a(b+c+d+m)\)
\(=\frac{4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4m^2-4a(b+c+d+m)}{4}\)
\(=\frac{(a^2+4b^2-4ab)+(a^2+4c^2-4ac)+(a^2+4d^2-4ad)+(a^2+4m^2-4am)}{4}\)
\(=\frac{(a-2b)^2+(a-2c)^2+(a-2d)^2+(a-2m)^2}{4}\geq 0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=2b=2c=2d=2m\)
b)
Xét hiệu
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}=\frac{x+y}{xy}-\frac{4}{x+y}=\frac{(x+y)^2-4xy}{xy(x+y)}\)
\(=\frac{x^2+y^2-2xy}{xy(x+y)}=\frac{(x-y)^2}{xy(x+y)}\geq 0, \forall x,y>0\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y$
c)
Xét hiệu:
\((a^2+c^2)(b^2+d^2)-(ab+cd)^2\)
\(=(a^2b^2+a^2d^2+c^2b^2+c^2d^2)-(a^2b^2+2abcd+c^2d^2)\)
\(=a^2d^2-2abcd+b^2c^2=(ad-bc)^2\geq 0\)
\(\Rightarrow (a^2+c^2)(b^2+d^2)\geq (ab+cd)^2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(ad=bc\)
d)
Xét hiệu:
\(a^2+b^2-(a+b-\frac{1}{2})=a^2+b^2-a-b+\frac{1}{2}\)
\(=(a^2-a+\frac{1}{4})+(b^2-b+\frac{1}{4})\)
\(=(a-\frac{1}{2})^2+(b-\frac{1}{2})^2\geq 0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\geq a+b-\frac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Câu 1: Dùng biến đổi tương đương:
a/ \(3\left(m+1\right)+m< 4\left(2+m\right)\)
\(\Leftrightarrow3m+3+m< 8+4m\)
\(\Leftrightarrow4m+3< 8+4m\)
\(\Leftrightarrow3< 8\) (đúng), vậy BĐT ban đầu là đúng
b/ \(\left(m-2\right)^2>m\left(m-4\right)\)
\(\Leftrightarrow m^2-4m+4>m^2-4m\)
\(\Leftrightarrow4>0\) (đúng), vậy BĐT ban đầu đúng
Câu 2:
a/ \(b\left(b+a\right)\ge ab\)
\(\Leftrightarrow b^2+ab\ge ab\)
\(\Leftrightarrow b^2\ge0\) (luôn đúng), vậy BĐT ban đầu đúng
b/ \(a^2-ab+b^2\ge ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Câu 3:
a/ \(10a^2-5a+1\ge a^2+a\)
\(\Leftrightarrow9a^2-6a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(3a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
b/ \(a^2-a\le50a^2-15a+1\)
\(\Leftrightarrow49a^2-14a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(7a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Câu 4:
Ta có: \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(\Rightarrow VT=\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)
\(\Rightarrow VT< 2\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(\Rightarrow VT< 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\)
a) \(3\left(4x-1\right)-2x\left(5x+2\right)>8x-2\)
\(\Leftrightarrow12x-3-10x^2-4x>8x-2\)
\(\Leftrightarrow-10x^2>5\)
\(\Leftrightarrow x^2< \dfrac{-1}{2}\)(vô lí)
Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.
h)
\(\dfrac{x+5}{x+7}-1>0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x+5}{x+7}-\dfrac{x+7}{x+7}>0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x+5-x-7}{x+7}>0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{-2}{x+7}>0\)
\(\Leftrightarrow x+7< 0\)
\(\Leftrightarrow x< -7\)
g)
\(\dfrac{4-x}{3x+5}\ge0\)
* TH1:
\(4-x\ge0\) và \(3x+5>0\)
\(\Leftrightarrow x\le4\) và \(x>\dfrac{-5}{3}\)
* TH2:
\(4-x\le0\) và \(3x+5< 0\)
\(\Leftrightarrow x\ge4\) và \(x< \dfrac{-5}{3}\) ( loại)
Vậy: \(-\dfrac{5}{3}< x\le4\)
a/ \(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
b/ \(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
c/ \(\Leftrightarrow a^2+2a< a^2+2a+1\)
\(\Leftrightarrow0< 1\) (hiển nhiên đúng)
d/ \(\Leftrightarrow m^2-2m+1+n^2-2n+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2+\left(n-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(m=n=1\)
e/ \(\Leftrightarrow1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\ge4\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
1. a) Ta có: x4 \(\ge\) 0 và x2 \(\ge\) 0 (với mọi x ∈ R)nên suy ra x4+x2+2\(\ge\)0 (với mọi x \(\in\) R)
Vậy giá trị của biểu thức A luôn có giá trị dương với mọi x \(\in\) R.
b) Ta có: B = (x + 3).(x - 11) + 2018 = x2-11x+3x-33+2018
\(\Leftrightarrow\)
B = x2-8x+1985 = x2-2.4.x+42+1969
\(\Leftrightarrow\) B = (x-4)2+1969
Vì (x-4)2\(\ge\) 0 nên suy ra (x-4)2+1969 \(\ge\) 1969
Vậy giá trị của biểu thức B luôn có giá trị dương với mọi x \(\in\) R.
Bài 2:
a: \(=x^2+3x+\dfrac{9}{4}+\dfrac{19}{4}=\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{19}{4}>=\dfrac{19}{4}\)
Dấu '=' xảy ra khi x=-3/2
b: \(=-\left(x^2+10x-11\right)\)
\(=-\left(x^2+10x+25-36\right)\)
\(=-\left(x+5\right)^2+36< =36\)
Dấu = xảy ra khi x=-5
c: \(=2\left|x-4\right|-\left|x-4\right|^2\)
\(=-\left(\left|x-4\right|^2-2\left|x-4\right|+1\right)+1\)
\(=-\left(\left|x-4\right|-1\right)^2+1< =1\)
Dấu '=' xảy ra khi x-4=1 hoặc x-4=-1
=>x=3 hoặc x=5
5)
a)
Có 3x+y = 1
\(\Rightarrow x+x+x+y=1\)
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ta có :
\(\left(x^2+x^2+x^2+y^2\right)\left(1^2+1^2+1^2+1^2\right)\ge\left(x+x+x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow3x^2+y^{2^{ }}.4\ge\left(3x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow3x^2+y^2\ge\dfrac{1}{4}\)
b)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có :
\(\left[{}\begin{matrix}a^2+1^2\ge2a\\b^2+1^2\ge2b\\c^2+1^2\ge2c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(a+1\right)^2\ge4a^{ }\\\left(b+1\right)^2\ge4b^{ }\\\left(c+1\right)^2\ge4c^{ }\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(a+1\right)^2\left(b+1\right)^2\left(c+1\right)^2\ge4a^{ }.4b.4c^{ }\)
\(\Rightarrow\left(a+1\right)^2\left(b+1\right)^2\left(c+1\right)^2\ge64a^{ }bc^{ }\)
\(\Rightarrow\left(a+1\right)^2\left(b+1\right)^2\left(c+1\right)^2\ge64abc\)
\(\Rightarrow\left(a+1\right)^2\left(b+1\right)^2\left(c+1\right)^2\ge64\)
\(\Rightarrow\left(a+1\right)^{ }\left(b+1\right)^{ }\left(c+1\right)^{ }\ge8\) \(\left(đpcm\right)\)
3)
Sửa đề \(A=\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\)
Đặt b + c - a = x , a+c-b = y , a+b-c= z
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2a=y+z\\2b=x+z\\2c=x+y\end{matrix}\right.\)
Có :
\(\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\)
\(\Rightarrow\dfrac{2a}{b+c-a}+\dfrac{2b}{a+c-b}+\dfrac{2c}{a+b-c}\)
\(\Rightarrow\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z}\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}\right)+\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+\left(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\forall a,b>0\)
\(\Rightarrow\) \(\left(\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}\right)+\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+\left(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\right)\ge6\)
\(\Rightarrow\dfrac{2a}{b+c-a}+\dfrac{2b}{a+c-b}+\dfrac{2c}{a+b-c}\ge6\)
\(\Rightarrow2\left(\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\right)\ge6\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\ge3\) \(\left(đpcm\right)\)
a: \(\Leftrightarrow x^2+x+4x+4+m-4⋮x+1\)
=>m-4=0
hay m=4
b: \(\Leftrightarrow2x^2+4x-x-2+m+2⋮x+2\)
=>m+2=0
hay m=-2
c: \(\Leftrightarrow x^4-x^3+5x^2+x^2-x+5+m-5⋮x^2-x+5\)
=>m-5=0
hay m=5
a) a2+b2-2ab=(a-b)2>=0
b) \(\frac{a^2+b^2}{2}\)\(\ge\)ab <=> \(\frac{a^2+b^2}{2}\)-ab\(\ge\)0 <=> \(\frac{\left(a-b\right)^2}{2}\)\(\ge\)0 (ĐPCM)
c) a2+2a < (a+1)2=a2+2a+1 (ĐPCM)
Bài 1:
a) \(A=\left[-2\left(m+1\right)\right]^2-4\left(m-4\right)\)
\(A=\left(-2\right)^2\left(m+1\right)^2-4m+16\)
\(A=4\left(m^2+2m+1\right)-4m+16\)
\(A=4m^2+8m+4-4m+16\)
\(A=4m^2+4m+20\)
\(A=\left(2m\right)^2+2.m.2+4+16\)
\(A=\left(2m+2\right)^2+16\)
Vì \(\left(2m+2\right)^2\ge0\) với mọi m
\(\Rightarrow\left(2m+2\right)^2+16\ge16\)
Mà \(16>0\)
\(\Rightarrow\left(2m+2\right)^2+16>0\)
\(\Rightarrow\left[-2\left(m+1\right)\right]^2-4\left(m-4\right)>0\) ( Đpcm )
b) \(B=\left[-\left(m+2\right)\right]^2-4.2m\)
\(B=\left(-1\right)^2\left(m+2\right)^2-8m\)
\(B=m^2+2m.2+4-8m\)
\(B=m^2+4m+4-8m\)
\(B=m^2-4m+4\)
\(B=m^2-2.m.2+2^2\)
\(B=\left(m-2\right)^2\)
Vì \(\left(m-2\right)^2\ge0\) với mọi m
\(\Rightarrow\left[-\left(m+2\right)\right]^2-4.2m\ge0\) ( Đpcm )
c) \(C=\left(m+1\right)^2-4.2.\left[-\left(m+3\right)\right]\)
\(C=m^2+2m+1-8\left(-m-3\right)\)
\(C=m^2+2m+1+8m+24\)
\(C=m^2+10m+25\)
\(C=\left(m+5\right)^2\)
Vì \(\left(m+5\right)^2\ge0\) với mọi m
\(\Rightarrow\left(m+1\right)^2-4.2\left[-\left(m+3\right)\right]\ge0\) ( Đpcm )
Cảm ơn n` nhá