Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chứng minh: 3n > 3n + 1 (1)
+ Với n = 2 thì (1) ⇔ 9 > 7 (luôn đúng).
+ Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 2, tức là 3k > 3k + 1.
Ta chứng minh đúng với n= k+1 tức là chứng minh: 3k+ 1 > 3(k+1) + 1
Thật vậy, ta có:
3k + 1 = 3.3k > 3.(3k + 1) (Vì 3k > 3k + 1 theo giả sử)
= 9k + 3
= 3k + 3 + 6k
= 3.(k + 1) + 6k
> 3(k + 1) + 1.( vì k ≥ 2 nên 6k ≥ 12> 1)
⇒ (1) đúng với n = k + 1.
Vậy 3n > 3n + 1 đúng với mọi n ≥ 2.
Câu a làm rồi
Câu b hình như bạn nhầm đề, với dạng của dãy như vậy thì số hạng tổng quát của nó là \(n\left(3n-1\right)\) chứ ko phải \(n\left(3n+1\right)\)
\(\sum n\left(3n-1\right)=3\sum n^2-\sum n=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{2}-\frac{n\left(n+1\right)}{2}=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\left(2n-1-1\right)=n^2\left(n+1\right)\)
Tui làm theo cách tiểu học, để mai nghĩ xem có cách nào làm "cấp 3" ko
2+3=5; 5+3=8
Số số hạng: \(\dfrac{3n-1-2}{3}+1=n\left(so-hang\right)\)
Tổng: \(\dfrac{\left(3n-1+2\right).n}{2}=\dfrac{n\left(3n+1\right)}{2}\)
+ Với n = 1, ta có:
VT = 3 – 1 = 2
⇒ VT = VP
⇒ (1) đúng với n = 1
+ Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là:
2 + 5 + 8 + …+ (3k – 1) = k(3k + 1)/2. (*)
Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là :
Thật vậy :
Ta có :
ta có với n=1: VT=1=VP
giả sử đúng với n=k, k thuộc N*
ta cần chứng minh đúng với n=k+1
thay vào ta dduocj: [k(k+1)]2/4+(k+1)3=[(k+1)(k+2)]^2/4
=> đpcm
phương pháp quy nạp
- Với \(n=4\Rightarrow3^3>4.6\) (đúng)
- Giả sử BĐT đã cho đúng với \(n=k\ge4\) hay \(3^{k-1}>k\left(k+2\right)\)
- Ta cần chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\) hay: \(3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\)
Thật vậy, do \(k\ge4\Rightarrow k-3>0\), ta có:
\(3^k=3.3^{k-1}>3k\left(k+2\right)=3k^2+6k=\left(k^2+4k+3\right)+\left(2k^2+2k-3\right)\)
\(=\left(k+1\right)\left(k+3\right)+2k^2+k+\left(k-3\right)>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\) (đpcm)
Phân tích nhân tử nhầm=>giải lại
\(A=2n^2-3n^2+n=n\left(2n^2-3n+1\right)=n\left(n-1\right)\left(2n+1\right)\)\(A=n\left(n-1\right)\left(2n+2-3\right)=\left[2n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right]-3\left(n\right)\left(n-1\right)=2B-3C\)
\(\left\{{}\begin{matrix}B⋮3\\C⋮2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2B⋮6\\3C⋮3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A⋮6\) => dpcm
Lời giải:
\(A=n\left(2n^3-3n+1\right)=n\left(n-1\right)\left(2n^2+2n-1\right)\)
\(A=n\left(n-1\right)\left[2n\left(n+1\right)-1\right]=2n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+n\left(n-1\right)=B-C\)\(\left\{{}\begin{matrix}B⋮2\\B⋮3\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow B⋮6\forall n\in N\)
\(C=n\left(n-1\right)\) không thể chia hết cho 6 với mọi n thuộc N
\(\Rightarrow A\) chỉ chia hết cho 6 với điều kiện \(n\ne3k+2\)
ví dụ đơn giải với k=0 => n= 2
\(A=2.2^3-3.2^2+2=14⋮̸6\)
Kết luận đề sai
\(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=C_n^0+C_n^1.\dfrac{1}{n}+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}\)
\(=1+1+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}\)
\(=2+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}>2\)
Mặt khác:
\(C_n^k.\dfrac{1}{n^k}=\dfrac{n!}{k!\left(n-k\right)!.n^k}=\dfrac{\left(n-k+1\right)\left(n-k+2\right)...n}{n^k}.\dfrac{1}{k!}< \dfrac{n.n...n}{n^k}.\dfrac{1}{k!}=\dfrac{n^k}{n^k}.\dfrac{1}{k!}=\dfrac{1}{k!}\)
\(< \dfrac{1}{k\left(k-1\right)}=\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\)
Do đó:
\(C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}< \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}=1-\dfrac{1}{n}< 1\)
\(\Rightarrow2+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}< 2+1=3\) (đpcm)
\(=n\left(2n^2-2n-n+1\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(2n-1\right)\)
TH1: n=3k
\(A=3k\left(3k-1\right)\left(6k-1\right)⋮3\)
mà A luôn chia hết cho 2(do n;n-1 là hai số liên tiếp)
nên A chia hết cho 6
TH2: n=3k+1
\(A=\left(3k+1\right)\left(3k+1-1\right)\left(6k+2-1\right)\)
\(=\left(3k+1\right)\left(3k\right)\cdot\left(6k+1\right)⋮3\)
=>A chia hết cho 6
TH3: n=3k+2
\(A=\left(3k+2\right)\left(3k+1\right)\left(6k+4-1\right)\)
\(=\left(3k+2\right)\left(3k+1\right)\left(6k+3\right)⋮6\)
\(1\cdot2+2\cdot5+3\cdot8+...+n\left(3n-1\right)=n^2\left(n+1\right)\left(1\right)\)
Khi n=1 thì ta có: \(1\cdot2=1^2\left(1+1\right)\)(đúng)
Khi n>1 thì k=n+1
Giả sử như (1) đúng với k=n, ta cần chứng minh nó cũng đúng với k=n+1, tức là ta sẽ cần chứng minh:
\(1\cdot2+2\cdot5+3\cdot8+...+n\left(3n-1\right)+\left(n+1\right)\left(3n+3-1\right)=\left(n+1\right)^2\left(n+1+1\right)\)
\(\Leftrightarrow n^2\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\left(3n+2\right)=\left(n+1\right)^2\left(n+2\right)\)
=>\(n^3+n^2+3n^2+2n+3n+2=\left(n^2+2n+1\right)\left(n+2\right)\)
=>\(n^3+4n^2+5n+2=n^3+2n^2+2n^2+4n+n+2\)
=>\(0n=0\)(đúng)
Vậy: (1) luôn đúng với mọi \(n\in Z^+\)