Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cô -si ta có:
\(a^3+1+1\geq 3\sqrt[3]{a^3}=3a\)
\(b^3+1+1\geq 3\sqrt[3]{b^3}=3b\)
Cộng theo vế:
\(a^3+b^3+4\geq 3(a+b)\)
\(\Leftrightarrow 6\geq 3(a+b)\Leftrightarrow a+b\leq 2\)
Vậy \((a+b)_{\max}=2\). Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=1\)
Bài 2:
Áp dụng BĐT Cô- si ta có:
\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b+c}{4}+\frac{1}{2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{8}}=\frac{3}{2}a\)
\(\frac{b^3}{c+a}+\frac{c+a}{4}+\frac{1}{2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{b^3}{8}}=\frac{3}{2}b\)
\(\frac{c^3}{a+b}+\frac{a+b}{4}+\frac{1}{2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{c^3}{8}}=\frac{3}{2}c\)
Cộng theo vế:
\(T+\frac{1}{2}(a+b+c)+\frac{3}{2}\geq \frac{3}{2}(a+b+c)\)
\(\Leftrightarrow T\geq a+b+c-\frac{3}{2}\)
Theo BĐT Cô-si: \(a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3\)
\(\Rightarrow T\geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
Vậy \(T_{\min}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Bài 3:
Điều kiện đề bài tương đương với:
\(a\leq 1; b+2a\leq 4; 2c+3b+6a\leq 18\)
Ta có:
\(A=2\left (\frac{1}{6a}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{2c}\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{2a}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{1}{6a}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{2c}\right)(6a+3b+2c)\geq (1+1+1)^2\)
\(\Rightarrow \frac{1}{6a}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{2c}\geq \frac{9}{6a+3b+2c}\geq \frac{9}{18}=\frac{1}{2}\) (1)
\(\left(\frac{1}{2a}+\frac{1}{b}\right)(2a+b)\geq (1+1)^2\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{2a+b}\geq \frac{4}{4}=1\) (2)
\(\frac{1}{2a}\geq \frac{1}{2.1}=\frac{1}{2}\) (3)
Từ (1)(2)(3) suy ra \(A\geq 2.\frac{1}{2}+\frac{1}{3}.1+\frac{1}{2}=\frac{11}{6}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=1; b=2; c=3\)
Sửa: \(x^2+y^2+z^2=3\)
Ta có: \(f\left(x\right)=\dfrac{x}{3-yz}\le\dfrac{2x}{6-\left(y^2+z^2\right)}=\dfrac{2x}{x^2+3}\)
\(\Rightarrow f''\left(x\right)=\dfrac{4x\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{\left(x^2+3\right)^3}< 0\forall x\le3\) là hàm lõm
Áp dụng BĐT Jensen ta có:
\(f\left(a\right)+f\left(b\right)+f\left(c\right)\le3f\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)\le3f\left(1\right)=\dfrac{3}{2}\)
Bài 1:
Áp dụng BĐT Holder:
\((a^7+b^7+c^7)(a+b+c)(a+b+c)\geq (a^3+b^3+c^3)^3\)
\(\Rightarrow P=a^7+b^7+c^7\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^3}{(a+b+c)^2}\) \((1)\)
Tiếp tục Holder:
\((a^3+b^3+c^3)(1+1+1)(1+1+1)\geq (a+b+c)^3\)
\(\Rightarrow (a+b+c)\leq \sqrt[3]{9(a^3+b^3+c^3)}\) \((2)\)
Từ \((1),(2)\Rightarrow P\geq \frac{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)^7}}{\sqrt[3]{81}}\) \((3)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\((a^3+b^3+c^3)^2\geq 3(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)\geq 3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq \sqrt{3}\) \((4)\)
Từ \((3),(4)\Rightarrow P\geq \sqrt[6]{\frac{1}{3}}\)
Vậy \(P_{\min}=\sqrt[6]{\frac{1}{3}}\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt[6]{\frac{1}{3}}\)
Bài 2:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a^3+\sqrt{\frac{1}{27}}+\sqrt{\frac{1}{27}}\geq 3\sqrt[3]{a^3.\sqrt{\frac{1}{27^2}}}=a\)
\(b^3+\sqrt{\frac{1}{27}}+\sqrt{\frac{1}{27}}\geq 3\sqrt[3]{b^3.\sqrt{\frac{1}{27^2}}}=b\)
\(c^3+\sqrt{\frac{1}{27}}+\sqrt{\frac{1}{27}}\geq 3\sqrt[3]{c^3.\sqrt{\frac{1}{27^2}}}=c\)
Cộng theo vế:
\(a^3+b^3+c^3+6\sqrt{\frac{1}{27}}\geq a+b+c\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\((a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)=3\Rightarrow a+b+c\geq \sqrt{3}\)
Do đó, \(a^3+b^3+c^3\geq \sqrt{3}-6\sqrt{\frac{1}{27}}=\sqrt{\frac{1}{3}}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{\frac{1}{3}}\)
định lý hàm số sin:
a/ \(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\)2R
=> a = 2R.sinA = 2R.sin[180o - (B+C)] = 2R.sin(B+C)
và b = 2R.sinB; c = 2R.sinC thay vào (*) được:
\(\frac{2R\times sinB}{cosB}+\frac{2R\times sinC}{cosC}=\frac{2R\times sin\left(B+C\right)}{sinBsinC}\)
<=>sinB/cosB + sinC/cosC = sin(B+C)/(sinB.sinC)
<=> sin(B+C)/(cosBcosC) = sin(B+C)/(sinB.sinC)
<=> cosBcosC = sinB.sinC
<=> cosBcosC - sinB.sinC = 0
<=> cos(B+C) = 0
<=> B+C = 90o
vậy tam giác ABC vuông tại A
b/cosB+c/cosC=a/sinB.sinC (*)
Áp dụng định lý hàm số sin:
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
=> a = 2R.sinA = 2R.sin[1800 - (B+C)] = 2R.sin(B+C)
và b = 2R.sinB; c = 2R.sinC thay vào (*) được:
2R.sinB/cosB + 2RsinC/cosC = 2R.sin(B+C)/(sinB.sinC)
<=>sinB/cosB + sinC/cosC = sin(B+C)/(sinB.sinC)
<=> sin(B+C)/(cosBcosC) = sin(B+C)/(sinB.sinC)
<=> cosBcosC = sinB.sinC
<=> cosBcosC - sinB.sinC = 0
<=> cos(B+C) = 0
<=> B+C = 900
1.
Áp dụng công thức trung tuyến:
\(m_b^2+m_c^2=\dfrac{2a^2+2c^2-b^2}{4}+\dfrac{2a^2+2b^2-c^2}{4}\)
\(=\dfrac{4a^2+b^2+c^2}{4}\)
\(=\dfrac{9a^2+b^2+c^2-5a^2}{4}\)
\(=\dfrac{9\left(b^2+c^2\right)+b^2+c^2-5a^2}{4}\)
\(=5\left(\dfrac{b^2+c^2}{2}-\dfrac{a^2}{4}\right)=5m_a\)