Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
A B C D E M N I J
Gọi E là giao điểm của phân giác AD với MN.
Qua E, kẻ đoạn thẳng IJ vuông góc với AD \(\left(I\in AB,J\in AC\right)\)
Gọi H là điểm đối xứng với M qua AD.
Ta thấy rằng \(\widehat{MEI}=\widehat{HEJ}\Rightarrow\widehat{HEJ}=\widehat{JEN}\) hay EJ là phân giác trong góc NEH.
Do \(EJ\perp EA\) nên EA là phân giác ngoài tại đỉnh E của tam giác NEH.
Theo tính chất tia phân giác trong và ngoài của tam giác, ta có:
\(\frac{NJ}{HJ}=\frac{EN}{EH}=\frac{AN}{AH}\Rightarrow\frac{\overline{NJ}}{\overline{NA}}:\frac{\overline{HJ}}{\overline{HA}}=-1\Rightarrow\left(AJNH\right)=-1\)
Áp dụng hệ thức Descartes, ta có \(\frac{2}{AJ}=\frac{1}{AH}+\frac{1}{AN}=\frac{1}{AM}+\frac{1}{AN}=\frac{3}{a}\)
\(\Rightarrow AJ=\frac{2a}{3}\)
Vậy J cố định, mà AD cố định nên IJ cũng cố định. Vậy thì E cũng cố định.
\(AJ=\frac{2a}{3}\Rightarrow AE=\frac{2.AD}{3}\) hay E là trọng tâm tam giác ABC.
Tóm lại MN luôn đi qua trọng tâm tam giác ABC.
giúp em vs CMR với mọi a,b,c ta có (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)>= 3(a+b+c)^2
a/ tgiác ACD và tgiác AME là hai tgiác vuông tại A.
AD = AE (gt)
góc(ADC) = góc (AEM) (góc có cạnh tương ứng vuông góc)
=> tgiácACD = tgiácAME (g.c.g)
b/ ta có: AG//EH (cùng vuông góc với CD)
=> AG // IH
mà gt => AI // GH
vậy AGHI là hình bình hành
=>AG = IH.
mặt khác theo cm trên ta có: tgiác ACD = tgiác AME
=> AM = AC = AB
=> A là trung điểm BM, mà AI // BC
=> AI là đường trung bình của tgiác MBH
=> I là trung điểm của MH.
vậy: IM = IH = AG
có: AM = AB
góc BAG = góc AMI (so le trong)
=> tgiác AGB = tgiác MIA ( c.g.c)
c/ có AG//MH, A là trung điểm BM
=> AG là đường trung bình của tgiácBMH
=> G là trung điểm BH
hay BG = GH.
O x y E F A
Có: \(S_{OEF}=S_{AOE}+S_{AOF}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}.\sin\widehat{O}.OE.OF=\frac{1}{2}.\sin\frac{\widehat{O}}{2}.OA.\left(OE+OF\right)\)
\(\Leftrightarrow\sin\widehat{O}.OE.OF=\sin\frac{\widehat{O}}{2}.OA.\left(OE+OF\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{OE+OF}{OE.OF}=\frac{\sin\widehat{O}}{\sin\frac{\widehat{O}}{2}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{OE}+\frac{1}{OF}=\frac{\sin\widehat{O}}{\sin\frac{\widehat{O}}{2}}\)
Ta có số đo góc xOy không đổi nên \(\frac{\sin\widehat{O}}{\sin\frac{\widehat{O}}{2}}\)không đổi \(\Rightarrow\frac{1}{OE}+\frac{1}{OF}\)không đổi (đpcm)