Question

[Phạm Thị Kim Ngân]

  Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A (góc A nhọn, AB > BC). Gọi M là trung điểm của BC. a) Chứng minh: ∆AMB = ∆AMC b) Gọi I là trung điểm của AB. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, cắt tia MI tại D. Chứng minh: AD = MC. c) CD lần lượt cắt AB, AM tại S và E. Chứng minh: BC < 3AS.

Bài 2: Cho vuông tại A có , kẻ đường phân giác của . Kẻ vuông góc với tại M. a) Chứng minh .tam giác DAB=tam giác DMB b) Chứng minh:AC<DC c) Gọi K là giao điểm của đường thẳng và đường thẳng , đường thẳng cắt tại N. Chứng minh và cân tại B.

Bài 3: Cho ABC cân tại A, kẻ AH vuông góc với BC ,  a, Chứng minh rằng: ABH= ACH  b, Gọi N là trung điểm của AC Hai đoạn BN và AH cắt nhau tại G, trên tia đối của tia NB lấy K sao cho NK=NG. Chứng minh: G là trọng tâm của tam giác ABC và AG//CK  c, Chứng minh: G là trung điểm BK     Giúp mình với ạ    

Answer 1

[Kiều Vũ Linh]

Bài 1

  

a) Do ∆ABC cân tại A (gt)

⇒ AB = AC

Do M là trung điểm của BC (gt)

⇒ BM = MC

Xét ∆AMB và ∆AMC có:

AB = AC (cmt)

BC = MC (cmt)

AM là cạnh chung

⇒ ∆AMB = ∆AMC (c-c-c)

b) Do AD // BC (gt)

⇒ AD // BM

⇒ ∠DAI = ∠MBI (so le trong)

Xét ∆AID và ∆BIM có:

∠DAI = ∠MBI (cmt)

AI = BI (do I là trung điểm của AB)

∠AID = ∠BIM (đối đỉnh)

⇒ ∆AID = ∆BIM (g-c-g)

⇒ AD = BM (hai cạnh tương ứng)

Mà BM = MC (cmt)

⇒ AD = MC

c) ∆AMB = ∆AMC (cmt)

⇒ ∠AMB = ∠AMC (hai góc tương ứng)

Mà ∠AMB + ∠AMC = 180⁰ (kề bù)

⇒ ∠AMB = ∠AMC = 180⁰ : 2 = 90⁰

⇒ AM ⊥ BC

⇒ ∠AMC = ∠EMC = 90⁰

⇒ ∆MCE vuông tại M

Mà AD // BC (cmt)

⇒ AD ⊥ AM

⇒ ∠DAM = ∠DAE = 90⁰

⇒ ∆ADE vuông tại A

Do AD // BC (gt)

⇒ ∠ADE = ∠MCE (so le trong)

Xét hai tam giác vuông: ∆ADE và ∆MCE có:

AD = MC (cmt)

∠ADE = ∠MCE (cmt)

⇒ ∆ADE = ∆MCE (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

⇒ AE = ME (hai cạnh tương ứng)

⇒ E là trung điểm của AM

Do ∆AID = ∆BIM (cmt)

⇒ ID = IM (hai cạnh tương ứng)

⇒ I là trung điểm của MD

∆ADM có:

AI là đường trung tuyến (do I là trung điểm của MD)

DE là đường trung tuyến (do E là trung điểm của AM)

Mà AI và DE cắt nhau tại S

⇒ S là trọng tâm của ∆ADE

⇒ AS = 2SI

⇒ 3AS = 6SI

Lại có:

AI = BI (cmt)

⇒ AB = AI + BI = 3SI + 3SI = 6SI

⇒ AB = 3AS

Mà AB > BC (gt)

⇒ 3AS > BC

Hay BC < 3AS

Answer 2

[Kiều Vũ Linh]

Bài 3

  

a) Do ∆ABC cân tại A (gt)

⇒ AB = AC

Xét hai tam giác vuông: ∆ABH và ∆ACH có:

AB = AC (cmt)

AH là cạnh chung

⇒ ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

b) ∆ABC cân tại A (gt)

AH là đường cao (gt)

⇒ AH cũng là đường trung tuyến của ∆ABC

Lại có N là trung điểm của AC (gt)

⇒ BN là đường trung tuyến thứ hai của ∆ABC

Mà AH và BN cắt nhau tại G (gt)

⇒ G là trọng tâm của ∆ABC

Xét ∆ANG và ∆CNK có:

AN = CN (do N là trung điểm của AC)

∠ANG = ∠CNK (đối đỉnh)

NG = NK (gt)

⇒ ∆ANG = ∆CNK (c-g-c)

⇒ ∠AGN = ∠CKN (hai góc tương ứng)

Mà ∠AGN và ∠CKN là hai góc so le trong

⇒ AG // CK

c) Do G là trọng tâm của ∆ABC (cmt)

⇒ AG = 2GN

Lại có:

NG = NK (gt)

⇒ GK = 2GN

Mà BG = 2GN (cmt)

⇒ BG = GK

⇒ G là trung điểm của BK