Question

[Lê Trường Lân]

Bài 1: 

Cho các số \(0\le x,y,z\le2\)và x + y + z = 3. Tìm GTNN P = \(x^3+y^3+z^3-3\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)\)

Bài 2:

Cho x, y, z là các số thực dương, nhỏ hơn 1 thỏa mãn xyz = (1- x)(1- y)(1- z). Chứng minh trong ba số x(1- y), y(1- z) và z(1- x) có ít nhất một số không nhỏ hơn\(\frac{1}{4}\)

Ai nhanh và đúng, mình sẽ đánh dấu và thêm bạn bè nhé. Thanks. Làm ơn giúp mình !!! PLEASE !!!

Answer 1

[Tran Le Khanh Linh]

Bài 1:

Đặt a=x-1; b=y-1; c=z-1. Khi đó a;b;c\(\in\)[-1;1], a+b+c=0 và 

\(P=\left(a+1\right)^3+\left(b+1\right)^3+\left(c+1\right)^3-3abc\)

\(=a^3+b^3+c^3-3abc+3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\left(a+b+c\right)+3\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\left(a+b+c\right)+3\)

\(=3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\)

Ta có: \(0\le a^2+b^2+c^2\le2\)

Từ đây ta dễ thấy Min P=3 đạt được khi x=y=z=1

Answer 2

[Tran Le Khanh Linh]

Ta xét tống T của 3 số x(1-y);y(1-x);z(1-x)

Ta có T=x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)=x+y+z-xy-xz-yz

Theo giả thiết xyz=(1-x)(1-y)(1-z)=1-(x+y+z-xy-xz-yz)-xyz

=> 2xyz=1-T => T=1-2xyz

Nhưng x²y²z² =[x(1-x)][y(1-y)][z(1-z)]\(\le\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{64}\)

=> xyz\(\le\)\(\frac{1}{8}\Rightarrow2xy\le\frac{1}{4}\)

Vậy \(T\ge1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)

Vậy \(T\ge\frac{3}{4}\)nên trong 3 số x(1-x), y(1-y), z(1-z) có ít nhất một trong 3 số đó \(\ge\frac{1}{4}\left(đpcm\right)\)