Question

[Trần Tuấn Kiệt]

bài 1: cho ▲ABC vuông cân tại A trên cạnh AB lấy điểm D , trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD=AE . từ C kẻ đường thẳng vuông góc với BE cắt BA ở I

a, chứng minh : BE=CI

b, qua D và A kể đường thẳng vuông góc với BE cắt BC lần lượt ở M và N . chừng minh MN=NC

bài 2: cho hình thang vuông ABCD , góc A = góc D=90 độ . gọi E là điểm đối xứng với C qua AD, I là giao điểm của BE với AI

a, chứng minh ID là tia phân giác của góc CIF

b, tia CI cắt AB ở F . chứng minh F đối xứng với B qua AD

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Bài 1:

a) Gọi giao điểm của CI và BE là F

⇒CF⊥BE tại F

Ta có: ΔCEF vuông tại F(CF⊥BE, F∈BE)

nên \(\widehat{FCE}+\widehat{CEF}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)

\(\Leftrightarrow\widehat{ACI}=90^0-\widehat{FEC}\)

mà \(\widehat{FEC}=\widehat{AEB}\)(hai góc đối đỉnh)

nên \(\widehat{ACI}=90^0-\widehat{AEB}\)(1)

Ta có: ΔAEB vuông tại A(CA⊥BA, E∈AC)

nên \(\widehat{ABE}+\widehat{AEB}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)

hay \(\widehat{ABE}=90^0-\widehat{AEB}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ACI}=\widehat{ABE}\)

Xét ΔACI vuông tại A và ΔABE vuông tại A có

AC=AB(ΔABC vuông cân tại A)

\(\widehat{ACI}=\widehat{ABE}\)(cmt)

Do đó: ΔACI=ΔABE(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)

⇒CI=BE(hai cạnh tương ứng)(đpcm1)

b) Ta có: ΔACI=ΔABE(cmt)

⇒AI=AE(hai cạnh tương ứng)

mà AD=AE(gt)

nên AI=AD

mà A,I,D thẳng hàng

nên A là trung điểm của ID

Ta có: CI⊥BE(gt)

MD⊥BE(gt)

NA⊥BE(gt)

Do đó: CI//MD//NA(định lí 1 từ vuông góc tới song song)

Xét tứ giác MDIC có MD//CI(cmt)

nên MDIC là hình thang có hai đáy là MD và CI(định nghĩa hình thang)

Xét hình thang MDIC(MD//CI) có

A là trung điểm của cạnh bên ID(cmt)

AN//MD//CI(cmt)

Do đó: N là trung điểm của CM(định lí 3 về đường trung bình của hình thang)

⇒NM=NC(đpcm2)